2018-02-20
668
Определение комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Комплексным числом называется число вида Z=x+i*y, где х и у – вещественные числа, а
i – мнимая единица, удовлетворяющая равенству i2 = -1.
X – вещественная часть Re(z)
Y – мнимая часть Im(z)
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их веществ. и мнимые части.
Z1=X1+ iY1; Z2=X2+ iY2;
Z*n=X*n+Y*n*I, где n – действительное число
Z1=Z2 значит X1=X2 и Y1=Y2
Z1+Z2=(X1+X2) + (Y1+Y2)i
Z1-Z2=(X1 -X2) + (Y1 -Y2)i
Z1*Z2=(X1*X2-Y1*Y2) + (X1*Y2 + X2*Y1)i
Комплексная плоскость. Вывод формулы комплексного числа в тригонометрической форме. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Любое комплексное число изображается точкой М(х; у). Плоскость, на которой изображаются эти числа, условно называется комплексной плоскостью, хотя, конечно, все точки на ней имеют вещественные координаты. Если в положить у = 0;
числа чисто вещественные; ось х.
Если в положить x = 0 числа чисто мнимые; ось y.
r - радиус вектор. Равен модулю числа Z. 
j - Аргумент числа. 
|
|
|
Из рисунка видно что 
,а 
отсюда комплексное число можно записать в виде
- тригонометрическая форма записи комплексного числа. 
Комплексные числа складываются и вычитаются, как векторы.
Таким образом 
; 
При обратном действии – делении 
; 
, где k – любое целое число.
Выводопределений основных элементарных функций комплексного переменного. Формула Эйлера.
Изтеоррии рядов известны разложения в ряд в окрестности точки х=0 функций
; 
; 
; 
; 
Если в данных разложениях заменить действительную переменную на комплексную, то получим разложения в ряд комплексных функций.
Показательной функцией комплексной переменной Z называется функция вида 
Тригонометрическими функциями называются 
; 
Гиперболическими функциями называются 
; 
Формула Эйлера
В определении показательной функции вместо Z подставим iZ.
;
;
;
из определений разложения в ряд тригонометрических функций
; 
- формулы Эйлера
; 
;
; 
Вывод формул связи между показательной и гиперболическими функциями, между тригонометрическими и гиперболическими функциями.
; 
; 
