Производная и дифференциал. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексной перемен-ной

Пусть w=f(z) определена в некоторой окрестности точки z0. Производ. данной фун. точки z0, f’(z0), есть lim _z_-_z₀ (f(z)-f(z0))/(z-z0) Замечание: Правила диференц справедливые для фун действитель переменных, справедливы и для фун комплексных переменных. Теорема: Необходимые и достаточные условия дефер. фун комплексного переменного. f(z)=u(x,y)+iv(x,y) была дефер в некоторой окрестности точки z0=x0+iy0, необходимо и достаточно, чтобы u(x,y), v(x,y) были дифференцируемы и выполнялись условия

∂u/∂x=∂v/∂y ∂u/∂y=-∂v/∂x условия Римана –Коши

Тогда производная функции F’(z0)= (∂u/∂x)+i (∂v/∂x)= (∂u/∂x)+i –(∂v/∂y)=(∂v/∂y)+i (∂v/∂x)=(∂v/∂y)-i (∂u/∂y)

Аналитичность ф-и в точке и области. Действит-я и мнимая части аналитической ф-и. Гармоничность ф-и.

Опр: ф-я w=f(z) назыв аналитичной в т. z₀ если она дифференцируема в любой точке некот окрестности в т. z₀.

Если ф-я аналитична в т. z₀, то из данного определения следует, что она будет аналитична в каждой т. некоторой окрестности т. z₀.

Опр: ф-я f(z) назыв аналитичной в обл D если она аналитична в каждой т. этой области.

Опр: если ф-я f(z) аналитична на всей плоскости, то она назыв целой.

Из аналитичности ф-и в обл D т.е. из факта сущ-я первой производной в обл D следует существование всех производных этой ф-и.

Пусть f(z)=U(x,y)+iV(x,y) – аналитична в D => U(x,y) и V(x,y) удовлетворяют условиям Коши-Римана.

Продифференцируем (1) по Х, а (2) по У:

Продифференцируем (1) по У, а (2) по Х:

- дифференциальное уравнение 2го порядка в частных производных и назыв ур-ем Лапласа. Ф-и, обладающие в некот обл непрерывными частными производными до 2го порядка включительно и удовлетворяющие этому уравнению назыв гармоническими. Действительная и мнимая части аналитической ф-и явл-ся гармоническими ф-ями.