Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Пусть собе А может появиться только при условии появления одного из несовместных соб В1, В2, …Bn, образующих полную группу. Тогда формула полной вероятности будет выглядеть так: P(A)=P(B₁)*P_B₁(A)+P(B₂)*P_B₂(A)+…+P(B_n)*P_Bn(A)= .

Пусть соб А наступит при условии наступлении одного из несовместных событий В₁, В₂,…В_n, образующих полную группу. Известны вероятности событий Bi–гипотеза. По теореме умножения (для зав соб) имеем: P(AB₁)=P(A)*P_А(B₁)=P(B₁)*P_B₁(A).

P_A(B₁)= P(B₁)P_B1(A)/Р(А)= P(B₁)*P_B1(A)/(P(B₁)P_B1(A)+…+P(B_n)P_Bn(A)).

Аналогичным можно подсчитать Р(Вi) -Формула Бейеса. Формула используется для переоценки вероятностей гипотез, в том случае, если событие А уже произошло.

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

опр: Если произведено неско испыт, причем вер соб А в каждом испыт не зависит от исходов др испыт-я, то такие испыт-я наз независимыми относительно соб А.

Пусть производится n незав испыт, в каждом из кот соб А может появляться с 1 и той же вер p или не появл с 1 и той же вер q=1-p. Найдем вер того, что соб А в n незав испыт появится ровно k раз. По теор умн вер для незав соб, появление соб А 1 раз опред-ся по ф-ле p^kqⁿ^-^k, число таких соб опред по ф-ле С_n^k, поскольку соб А появ в испыт с 1 и той же вер, то по теор сложения вер-й вер-ть, что в n испыт соб А появ k раз

Замеч: ф-ла Бернулли неудобна, если кол-во испыт (n) велико, в этом случае исп локальную теор Лапласа.

Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Локальная теорема Лапласа: Если в n независимых испытаниях, соб А может появиться с 1й и той же вер-тью p и не появиться с 1й и той же вер-тью q, то . Здесь .

j(х)- функция четная, т.е. j(-х)= j(х). Значение функции j(х) находится по таблице.

Интегральная теорема Лапласа: Если в n независимых испытаниях, соб А может появиться с 1й и той же вер-тью p и не появиться с 1й и той же вер-тью q, тогда вер того, что соб А появится в n испытаниях не менее k₁ и не более k₂ раз, опред-ся по фо-ле:

P_n(k₁,k₂)=Ф(х₂)-Ф(х₁), где Ф(х) – функция Лапласа: , , . Функция Лапласа нечетная, т.е, Ф(-х)=-Ф(х), значение функции определяется по таблице, причем для x>5 - Ф(х)=0,5.