Плотность распределения вер н.с.в. Её свойства.Мат ожидание и дисперсия н.с.в

НСВ, кроме ф-и распределения F(X), можно задать с помощью плотности распределения.

опр: Плотностью распределения –ф-я f(x)=F’(x).

теор: Вер того, что сл вел х принимает свои возможные значения в интервале (a<x<b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b. .

По известной плотности распределения можно получить ф-ю распределения по следующей ф-ле:   .

Свойства плотности распределения:

1) Плотность – есть функция неотрицательная (f(x)³0).

2) Если сл вел х принимает все возможные значения на промежутке (a,b), то

3)

опр: Мат ожиданием НСВ Х, распределенной на промежутке (a,b) назыв , где f(x) – плотность распределения.

замеч: Если Х принимает все возможные значения на всей оси ОХ, то

опр: Дисперсией НСВ Х, принимающей все возможные знач на (a,b), называется:

; ;

Центральные и начальные теоретические моменты н.с.в. Мода, медиана, асимметрия, эксцесс.

опр: Нач теор моментом порядка k НСВ Х, все возможные значения кот-й принадлежат интервалу (a,b) определяем по ф-ле  Частный случай: n₁=M(X), n₂=M(X²), D(X)=n₂-(n₁)².

опр: Центр-м теор моментом порядка k НСВ Х, принимающей все возможные значения на (a,b), наз величина . Частный случай: m₁=0; m₂=D(X)=n₂-(n₁)²; m₃=n₃-3n₂n₁+2(n₁)³; m₄=n₄-4n₃n₁+6n₂(n₁)²-3(n₁)⁴.

опр: Модой НСВ (М₀(Х)) наз то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.

опр: Медианой НСВ (М_е(Х)) наз то ее возможное значе х, в котором ордината плотности делит график кривой пополам, или медианой назыв то возможное знач х, при котором P(X<M_e(X))=P(X>M_e(X)).

опр: Ассиметрией НСВ Х назыв отношение центрального теоретического момента 3-го порядка m₃ к кубу среднего квадратического отклонения s³, т.е. As=m₃/s³.

опр: Эксцессом сл вел Х назыв величина равная E_k=(m₄/s⁴)-3;