Локальная теорема Муавра-Лапласа

Как отмечалось в п.25, при большом числе испытаний вычисления вероятностей по формуле Бернулли оказываются весьма громоздкими. Поэтому важные значения имеют приближенные, но более простые формулы, которые можно получить из биномиального распределения. Одной из таких приближенных формул является асимптотика Пуассона, полученная при условии, что число опытов , а вероятность успеха .

Рассмотрим другую асимптотическую формулу биномиального распределения при условиях:

, , . (27.1)

Эти условия эквивалентны неравенству , которое означает, что вероятность успеха в одном опыте не может быть слишком малой величиной , так что величиной невозможно пренебречь по сравнению с единицей, а также не может быть слишком большой величиной, то есть неверным является предположение . Биномиальное распределение вероятностей имеет вид:

. (27.2)

Для представления факториала используем формулу Стирлинга

(27.3)

Эта формула является асимптотикой факториала, то есть получена при большом . Отметим достаточно высокую точность формулы (27.3) даже при небольших . Так в наихудшем случае при (27.3) дает относительную ошибку всего 8%, а при эта ошибка уменьшается до 0,08%. Для произвольного отношение точного значения к асимптотическому, вычисленному по формуле (27.3), находится в интервале

Соотношение (27.3) подставим в (27.2), тогда

(27.4)

Введем обозначения:

, (27.5)

Из (22.7) при следует, что наивероятнейшее число , поэтому числитель величины - это уклонение числа успехов от наивероятнейшего числа .

Из (27.5) и условий (27.1) следует

, (27.6)

а также

. (27.7)

Условия (27.6) и (27.7) приводят к ограничению на скорость роста второго слагаемого в выражениях (27.6), (27.7), а именно при большом

, , (27.8)

то есть величина пропорциональна , где число . Скорость ростане может быть большей, то есть параметр , характеризующий скорость роста не может принимать значения . В противном случае нарушаются условия (27.6), (27.7). действительно, при величина растет с увеличением быстрее, чем первое слагаемое в (27.6) и в (27.7), при этом условие (27.6) выполняется: , а условие (27.7) нарушается, поскольку число становится отрицательным с ростом .

Рассмотрим в (27.4) выражение под корнем, в котором числа , представим в виде (27.6), (27.7), тогда

(27.9)

При большом вторые слагаемые в скобках (27.9) является малыми по сравнению с первыми, поскольку выполняется условие (27.8). Поэтому при из (27.9) следует

. (27.10)

Рассмотрим два последних множителя выражения (27.4), причем удобно рассматривать его логарифм:

. (27.11)

Подставим сюда выражения для и (27.6) и (27.7). Тогда

. (27.12)

При малом справедливо разложение в ряд:

, (27.13)

где - величина, малая по сравнению с . Используем разложение с точностью до в соотношении (27.12). Тогда

(27.14)

Введем для краткости обозначение , тогда правая часть (27.14) преобразуется следующим образом:

. (27.15)

Здесь второе слагаемое зависит от через . Согласно (27.8) , , поэтому

. (27.16)

При и выражение , поэтому второе слагаемое в (27.15) является малой величиной по сравнению с первым, которое равно . Таким образом, (27.14) при имеет вид

. (27.17)

Полученные результаты (27.10) и (27.17) подставим в (27.4), тогда

, , . (27.18)

Формула (27.18) называется локальной асимптотикой Муавра-Лапласа. Этот же результат может быть сформулирован как следующая локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если вероятность успеха в одном опыте удовлетворяет условию , тогда вероятность того, что в последовательности независимых испытаний успех наступит раз удовлетворяет условию: