Наивероятнейшее число в распределении Бернулли

Число , для которого  (21.4) достигает максимального значения, называется наивероятнейшим числом в распределении Бернулли. Очевидно, наивероятнейшее число  определяется двумя условиями:

,                                               (22.1)

.                                               (22.2)

Для нахождения числа  решим систему двух неравенств (22.1), (22.2) относительно . Подставим в первое неравенство формулу (21.4), тогда

.                                (22.3)

После сокращения в левой части неравенство принимает вид:

,

откуда  или

.                                                (22.4)

Аналогично решим второе неравенство:

.                      (22.5)

После сокращения

,

откуда  или . Что сводится к выражению:

.                        (22.6)

Таким образом, наивероятнейшее число  в распределении Бернулли определяется двумя условиями (22.4) и (22.6):

.                          (22.7)

По условию задачи число  – целое по условию задачи и лежит в единичном интервале (22.7). Поэтому решение (22.7) может быть единственным, если  – дробное число. Это реализуется в примере с бросанием монеты, где , , тогда . В соответствии с (22.7) , поэтому существует единственное наивероятнейшее число , что иллюстрирует график, представленный на рис.21.1.

Возможна иная ситуация, если  – целое число. Тогда единичный интервал (22.7) содержит два целых числа, следовательно, имеется два наивероятнейших числа в распределении Бернулли. Эту ситуацию можно рассмотреть также на примере с бросанием монеты. Пусть , тогда , следовательно (22.7) имеет вид: , то есть имеется два наивероятнейших числа  и . При этом  и график  имеет плоскую вершину.