Полиномиальное распределение

Рассмотрим обобщение схемы независимых испытаний, состоящее в том, что исходом каждого опыта является одно из  несовместных событий , образующих полную группу. Пусть вероятность , , тогда

    .                                    (23.1)

Определим вероятность  события , состоящего в том, что в серии из  независимых опытов событие  произойдет  раз,..., событие  произойдет  раз. Поскольку исходом каждого опыта является одно и только одно из событий , то справедливо равенство:

    .                                    (23.2)

Рассмотрим следующую последовательность  исходов в серии из  опытов. Пусть в первых  опытах исходом было событие , в последующих  опытах исходом было событие ,..., в последних  опытах исходом было событие . Вероятность  появления этой последовательности определяется по формуле умножения:

    .                          (23.3)

Если в последовательности  поменять местами первый исход  и  исход , то получим новую последовательность , которая также состоит из  событий вида ,...,  событий . Вероятность  появления этой последовательности  и определяется также формулой (23.3). В общем, каждая последовательность , полученная из  путем перестановок между событиями , появляется с одинаковой вероятностью . Событие  означает, что происходит событие  или ,.... Таким образом,

    .                                   (23.4)

Теперь вероятность  по формуле сложения вероятностей для несовместных событий  определяется соотношением:

    ,                       (23.5)

где суммирование по  ведется по всем последовательностям . Число таких последовательностей - это число перестановок с повторениями из  по :

    .                               (23.6)

Поэтому из (23.5) следует

    .                (23.7)

Эта формула называется полиномиальным распределением вероятности. Такое название объясняется тем, что вероятность (23.7) является общим членом полинома .

Отметим, что при , , , ,  из формулы (23.7) следует распределение Бернулли: .

Рассмотрим пример вычисления вероятности выпадения чисел  при шести бросаниях игральной кости. Здесь имеется последовательность из шести опытов, в каждом опыте возможно шесть исходов. Таким образом, вероятность вычисления по формуле (23.7) при , , :

Этот же результат может быть получен с использованием формулы умножения вероятностей (11.1), действительно, здесь первый множитель  - это вероятность того, что в первом опыте исходом будет любое число из шести возможных  (достоверное событие). Второй множитель  - это условная вероятность того, что при втором бросании появится любое число кроме того, что выпало в первом опыте и т.д.