Последовательность независимых испытаний

21.1. Пусть эксперимент может быть повторен раз. Тогда говорят о последовательности (или серии) испытаний (опытов, экспериментов). Пусть последовательность опытов характеризуется тем, что результат любого опыта не зависит от результатов остальных опытов данной последовательности. Тогда говорят о последовательности независимых испытаний. Пусть опыт имеет два исхода - событие или . Тогда последовательность независимых испытаний называется вероятностной схемой Бернулли. Обычно исход условно называют успехом, а исход - неудачей. Обозначим вероятность успеха и вероятность неудачи . Очевидно .

В качестве примеров схемы Бернулли можно привести опыт с бросанием монеты или игральной кости. В первом примере успех - это выпадение герба и неуспех - выпадение решетки, при этом . Во втором примере в качестве успеха можно рассматривать выпадение грани с номером 1, тогда - невыпадение номера 1, при этом и .

Определим в схеме Бернулли вероятность того, что в серии из испытаний успех наступит раз. Очевидно . Рассмотрим последовательность опытов и будем фиксировать результат каждого опыта, то есть событие или . Тогда последовательность исходов может иметь, например, вид

, (21.1)

то есть ее первые элементов - это события и последующие элементов - события . Другими словами, в первых опытах наступает успех и в последующих опытах - неуспех. По условию исходы в последовательности (21.1) - это независимые события, поэтому по формуле умножения вероятность появления последовательности вида (21.1) равна

. (21.2)

При подсчете вероятности следует учесть все возможные последовательности, состоящие из событий и событий . Вероятность появления любой их этих последовательностей одинакова и равна . Кроме этого последовательности являются несовместными событиями, поскольку в каждой серии опытов реализуется только одна из этих последовательностей. Поэтому по формуле сложения вероятностей:

, (21.3)

где суммирование ведется по всем последовательностям, содержащим событий вида и событий . Число этих последовательностей равно , поскольку может быть определено как число различных перестановок элементов последовательности (21.1), содержащей элементов 1-го типа (событий ) и элементов 2-го типа (событий ) по формуле (19.6). Таким образом, из (21.3) следует

. (21.4)

Это соотношение называется формулой Бернулли или биномиальным распределением вероятностей. Последнее связано с тем, что равно общему члену бинома .

Рассмотрим пример. Бросается монета. Какова вероятность выпадения 0,1,2,3,4 раз герба при 4 бросаниях? Здесь вероятность успеха (появления герба) в одном опыте равна , , По формуле (21.4) вычисляются вероятности , , , , . На рис. 21.1 представлен график зависимости .

Рис. 21.1. График зависимости вероятности от числа успехов в опыте с бросанием монеты.

21.2. Вычислим вероятность того, что в серии из независимых опытов число успехов будет лежать в интервале . В соответствии с формулой сложения вероятностей

. (21.5)

Определим, какова вероятность появления хотя бы одного успеха в серии из опытов. Очевидно, речь идет о вероятности того, что число успехов будет лежать в интервале . Таким образом, искомая вероятность определится формулой (21.5) при и:

. (21.6)

Это выражение можно преобразовать, если учесть равенство

. (21.7)

Левая часть (21.7) согласно формуле сложения вероятностей представляет собой вероятность события, состоящего в том, что число успехов принимает значение из интервала . Это событие является достоверным, поэтому его вероятность равна единице. Теперь (21.6) можно представить в виде: