Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Вероятность того, что в последовательности независимых испытаний число успехов находится в интервале определяется выражением

. (28.1)

Получим асимптотику выражения (28.1) при тех же условиях, которые были определены для локальной теоремы Муавра-Лапласа. При этом определяется формулой (27.18). Подставим (27.18) в (28.1), тогда

(28.2)

где

. (28.3)

Поскольку , то при . Пусть

, . (28.4)

Тогда при сумма в выражении (28.2) переходит в интеграл:

. (28.5)

Этот результат носит название интегральная теорема Муавра-Лапласа. Соотношение (28.5) можно представить через функцию Лапласа:

. (28.6)

Практическое применение интегральной теоремы основано на приближенном равенстве:

. (28.7)

Для функции составлены подробные таблицы, которые обычно используются при решении задач. Вместо функции Лапласа (28.6) может быть использован интеграл ошибок:

. (28.8)

Функции и связаны соотношением:

Если в таблицах даны значения только для , тогда значения при можно вычислить, используя очевидное равенство

Рассмотрим примеры вычисления вероятностей с использованием теоремы Муавра-Лапласа.

1. Какова вероятность того, что при 200 бросаниях монеты герб выпадет 100 раз?

Для вычисления вероятности можно использовать локальную асимптотику (27.18). Здесь , , , , . Поскольку , то . Подставим полученные результаты в (27.18), тогда: