Нечеткие множества и нечеткая логика

В основе нечеткой логики лежит теория нечетких множеств, изложенная в серии работ Л. Заде в 1965-1973 годах. Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткая логика (fuzzy logic) являются обобщениями классической теории множеств и классической формальной логики. Основной причиной появления новой теории стало наличие нечетких и приближенных рассуждений при описании человеком процессов, систем, объектов.

Л. Заде, формулируя это главное свойство нечетких множеств базировался на трудах предшественников. В начале 1920-х годов польский математик Лукашевич трудился над принципами многозначной математической логики, в которой значениями предикатов могли быть не только «истина» или «ложь». В 1937 г. еще один американский ученый Макс Блэк впервые применил многозначную логику Лукашевича к спискам как множествам объектов и назвал такие множества неопределенными.

    Прежде чем нечеткий подход к моделированию сложных систем получил признание во всем мире, прошло не одно десятилетие с момента зарождения теории нечетких множеств.

Нечеткая логика как научное направление развивалась сложно и непросто, не избежала она и обвинений в лженаучности. Даже в 1989 году, когда примеры успешного применения нечеткой логики в обороне, промышленности и бизнесе исчислялись десятками, Национальное научное общество США обсуждало вопрос об исключении материалов по нечетким множествам из институтских учебников.

Первый период развития нечетких систем (конец 60-х–начало 70 гг.) характеризуется развитием теоретического аппарата нечетких множеств. В 1970 г. Беллман совместно с Заде разработал теорию принятия решений в нечетких условиях.

Во втором периоде (70–80-е годы) появляются первые практические результаты в области нечеткого управления сложными техническими системами (парогенератор с нечетким управлением). И. Мамдани в 1975 г. спроектировал первый функционирующий на основе алгебры Заде контроллер, управляющий паровой турбиной. Одновременно стало уделяться внимание вопросам построения экспертных систем, построенных на нечеткой логике, разработке нечетких контроллеров. Нечеткие экспертные системы для поддержки принятия решений находят широкое применение в медицине и экономике.

Наконец, в третьем периоде, который длится с конца 80-х годов и продолжается в настоящее время, появляются пакеты программ для построения нечетких экспертных систем, а области применения нечеткой логики заметно расширяются. Она применяется в автомобильной, аэрокосмической и транспортной промышленности, в области изделий бытовой техники, в сфере финансов, анализа и принятия управленческих решений и многих других. Кроме того, немалую роль в развитии нечеткой логики сыграло доказательство знаменитой теоремы FAT (Fuzzy Approximation Theorem) Б. Коско, в которой утверждалось, что любую математическую систему можно аппроксимировать системой на основе нечеткой логике.

Одним из самых впечатляющих результатов стало создание управляющего микропроцессора на основе нечеткой логики, способного автоматически решать известную «задачу о собаке, догоняющей кота». В 1990 г. Комитет по контролю экспорта США внес нечеткую логику в список критически важных оборонных технологий, не подлежащих экспорту потенциальному противнику.

В бизнесе и финансах нечеткая логика получила признание после того, как в 1988 году экспертная система на основе нечетких правил для прогнозирования финансовых индикаторов единственная предсказала биржевой крах. И количество успешных фаззи-применений в настоящее время исчисляется тысячами.

В Японии это направление переживает настоящий бум. Здесь функционирует специально созданная организация – Laboratory for International Fuzzy Engineering Research. Программой этой организации является создание более близких человеку вычислительных устройств.

Информационные системы, базирующиеся на нечетких множествах и нечеткой логике, называют нечеткими системами.

Достоинства нечетких систем:

Ÿ функционирование в условиях неопределенности;

Ÿ оперирование качественными и количественными данными;

Ÿ использование экспертных знаний в управлении;

Ÿ построение моделей приближенных рассуждений человека;

Ÿ устойчивость при действии на систему всевозможных возмущений.

Недостатками нечетких систем являются:

Ÿ отсутствие стандартной методики конструирования нечетких систем;

Ÿ невозможность математического анализа нечетких систем существующими методами;

Ÿ применение нечеткого подхода по сравнению с вероятностным не приводит к повышению точности вычислений.

Теория нечетких множеств

Главное отличие теории нечетких множеств от классической теории четких множеств состоит в том, что для четких множеств результатом вычисления характеристической функции могут быть только два значения – 0 или 1, то для нечетких множеств это количество бесконечно, но ограничено диапазоном от нуля до единицы.

Нечеткое множество

Пусть U - так называемое универсальное множество, из элементов которого образованы все остальные множества, рассматриваемые в данном классе задач, например множество всех целых чисел, множество всех гладких функций и т.д. Характеристическая функция множества - это функция , значения которой указывают, является ли элементом множества A:

В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности, а ее значение - степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству A.

Более строго, нечетким множеством A называется совокупность пар

где — функция принадлежности, т.е.  

Пусть, например, U ={ a, b, c, d, e }, . Тогда элемент a не принадлежит множеству A, элемент b принадлежит ему в малой степени, элемент c более или менее принадлежит, элемент d принадлежит в значительной степени, e является элементом множества A.

Пример. Пусть универсум U есть множество действительных чисел. Нечеткое множество A, обозначающее множество чисел, близких к 10, можно задать следующей функцией принадлежности (рис. 19):

, где

Рис. 19. Функция принадлежности

Показатель степени m выбирается в зависимости от степени близости к 10. Например, для описания множества чисел, очень близких к 10, можно положить m =4, для множества чисел, не очень далеких от 10, m =1.

Носителем нечеткого множества A называется четкое множество  таких точек в U, для которых величина положительна, т.е.

Ядром нечеткого множества A называется четкое множество таких точек в U, для которых величина  = 1.

Множеством уровня ( - срезом) нечеткого множества A называется четкое подмножество универсального множества U, определяемое по формуле , где

Функцию принадлежности называют нормальной, если ядро нечеткого множества содержит хотя бы один элемент.