2020-01-15
160
Комплексное число 
можно представить в таком виде:
(3.7)
где 
- алгебраическая форма;
- тригонометрическая форма;
- показательная форма.
Здесь: 
- действительная часть комплексного числа; 
- мнимая часть комплексного числа; 
- модуль комплексного числа; 
- аргумент комплексного числа; 
- мнимая единица (
).
Комплексное число может быть изображено на комплексной плоскости в виде радиус-вектора 
, который соединяет начало координат с точкой комплексного числа. Проекции радиус-вектора 
на действительную и мнимую координатные оси являются координатами комплексного числа, записанного в алгебраической или тригонометрической форме, а угол 
между радиус-вектором и действительной осью является его аргументом при записи в тригонометрической или показательной форме. Отсюда переход от алгебраической формы к показательной форме и наоборот:
Комплексная плоскость с комплексным числом 
, знаки действительной и мнимой частей комплексного числа в четырех квадрантах показана на рис. 3.3. Действия над комплексными числами достаточно широко изучаются в курсе математики, потому ограничимся только выводами.
Для комплексных чисел, записанных в любой форме, могут применяться все основные математические действия, но сложение и вычитание лучше проводить в алгебраической форме, а умножение и деление - в показательной.
Чтобы сложить (вычесть) два комплексных числа в алгебраической форме
і 
,
необходимо сложить (вычесть) отдельно их действительные и мнимые части, т.е.:
При умножении комплексных чисел в показательной форме
то есть их модули перемножают, а аргументы суммируют.
При делении комплексных чисел в показательной форме их модули делят, а аргументы вычитают:
Запишем также наиболее распространенные соотношения, которые следуют из формулы Эйлера:
; 
; 
; 
.
