Мощность в комплексной форме

Все расчетные формулы для мощностей можно получить в комплексной форме.

Составим произведение  где  сопряженный ток:

(3.36)

С другой стороны:  где  - комплексная мощность. Таким образом:

 ,                                  (3.37)

где  - действительная часть,  - мнимая часть).

Баланс мощностей

 

Из закона сохранения энергии следует, что активная мощность источников равняется активной мощности приемников, то есть:

.                                            (3.38)

Можно показать, что алгебраическая сумма реактивных мощностей источников равняется алгебраической сумме реактивных мощностей приемников, то есть:

.                                           (3.39)

Поскольку активные и реактивные мощности источников равняются активным и реактивным мощностям приемников, то одинаковы и их полные мощности в комплексной форме:

 .                                          (3.40)

Приведенные равенства (3.38-3.40) выражают баланс мощностей в цепях переменного тока.

 

Резонанс в цепях синусоидального тока

 

Под резонансом понимают такой режим работы электрической цепи, содержащей емкости и индуктивности, при котором её входное сопротивление имеет чисто резистивный характер и, следовательно, сдвиг фаз между напряжением u и током i на её входе равен нулю (j=0), т.е. напряжение и ток совпадают по фазе.

Как было показано выше, реактивные сопротивления конденсатора и катушки индуктивности зависят от частоты. Значит, распределение токов и напряжений электрической цепи определяется не только параметрами цепи, но и частотой возмущающего воздействия.

Цепи, в которых возникают резонансные явления, называют резонансными цепями или колебательными контурами. Простейший колебательный контур содержит один индуктивный L и один емкостной С эле­менты. Эти элементы соединены между собой и источником синусоидального напряжения последовательно (последовательный колебательный контур) или параллельно (параллельный колебательный контур).

Различают две основные разновидности резонансных режимов: резонанс напряжений и резонанс токов.

Резонанс напряжений

Резонанс напряжений (РН) возникает в последовательном колебательном контуре (рис. 3.7). В схему замещения цепи, кроме индуктивного L и ёмкостного С элементов, включен также элемент R, учитывающий все виды активных потерь в контуре (в катушке, в конденсаторе, во внутреннем сопротивлении источника питания, в соединительных проводах).

Условием наступления РН в схеме (рис. 3.7) является равенство нулю реактивного сопротивления на входе цепи:

Х _РН = Х _L(РН) - Х _C(РН) = 0      или     w _РНL = 1/( w _РН C).

Откуда угловая резонансная частота контура (в рад/с):  

 .                                                      (3.41)

Следовательно, резонансная частота контура (в Гц) .            (3.42)

Характеристическое (волновое) сопротивление r (в Ом) последовательного колебательного контура равно его индуктивному или ёмкостному сопротивлению при резонансе:

 .                                 (3.43)

Добротностью Q контура называют отношение характеристического сопротивления r контура к активному сопротивлению R при резонансе:

.                                      (3.44)

Чем больше r и меньше R, тем добротнее контур, тем будут ýже (меньше по диапазону) частотные характеристики тока и напряжений на элементах контура. В радиотехнических контурах добротность Q = 100…1000; в электрических цепях добротность обычно не превышает 3…5.

Добротность показывает, во сколько раз напряжение на зажимах кон­денсатора U _C или индуктивное напряжение U _L катушки при резонансе больше напряжения питания контура U:

.                                       (3.45)

Ток I при РН имеет максимальное значение, т. к.

.

Характерной особенностью режима РН является пре­вышение напряжениями U _L и U _C входного напряжения U контура.

Векторные диаграммы напряжений на элементах контура до режима резонанса (а), при режиме резонанса (б) и после режима РН (в) представлены на рис. 3.8. Отметим, что векторы напряжений на индуктивном U _L и ёмкостном U _C элементах при РН больше вектора входного напряжения U в Q раз, а угол сдвига фаз на входе цепи j = 0 (рис. 3.8, б), т. е. цепь при резонансе носит чисто активный характер. До резонанса (f < f _РН,угол j < 0) цепь носит активно-ёмкостный характер (рис. 3.8, а), а после резонанса (f > f _РН, угол j > 0) - активно-индуктивный характер (рис. 3.8, в).

Важнейшей характеристикой контура является его полоса пропускания (рис. 3.9):

D f = f _в - f _н или D w = w _в - w _н,

под которой понимают диапазон частот, в пределах которого значение нор­­мированного тока N _i (f) = I (f)/ I _max равно или больше . На гра­­ни­цах полосы пропускания, т. е. на частотах f _в и   f _н  (или w _в и w _н), называемых вер­х­ней и нижней частотами среза, нормированный ток  ак­тив­ная мощность P = 0,5 P _max, а угол j  = ± 45°.

 

Приближённо полосу пропускания кон­тура определяют по формуле

 или ,

откуда следует, что чем больше добротность, тем меньше полоса пропускания контура (рис. 3.9).

На практике параллельно конденсатору подключают приёмник, сопротивление ко­то­рого порядка R _н = 10, …, 100 кОм. При не­больших значениях R_н полоса про­пус­ка­ния   D f  увеличивается, а добротность контура снижается и равна

 .

Активная мощность  имеет максимальное значение, что объясняется максимальным током при резонансе.

Резонанс напряжений широко применяется в радиотехнике и технике связи.

 

Резонанс токов

 

Резонанстоков (РТ) возникает в параллельном колебательном контуре (рис. 3.10). Условием РТ является равенство нулю входной реактивной проводимости

В _PT = В _{L (PT)}  – В _{C (PT)} = 0 или

откуда резонансная угловая частота

,                            (3.46)

где  - резонансная частота контура без потерь (R ₁ = R ₂ = 0);

- характеристическое сопротивление контура.

Резонансные свойства цепи с двумя ветвями R ₁ L и R ₂ C (см. рис. 3.10) удобно изучать применительно к её эквивалентной схеме замещения с тре­мя параллельно соединёнными ветвями с параметрами G = 1/ R, B _L  и   B _C (рис. 3.6), равными

; ; .

Тогда добротность параллельного колебатель­ного контура

.                                          (3.47)

Добротность Q равна также отношению тока I _С в ветви с конденсатором (при R ₂=0, см. рис. 3.10) при режиме РТ и тока I _РТ на зажимах контура, т. е.

.                                                (3.48)

Ток   I  при РТ имеет минимальное значение,

,

так как полная проводимость контура в этом режиме Y _РТ = G _(РТ) = Y _min, а сопротивление контура .

Векторные диаграммы токов ветвей и тока на входе реального (а) и идеального (в) колебательных контуров для режима РТ представлены на рис. 3.11, б и г. Ток I ₁ в первой ветви отстаёт от напряжения по фазе на угол j ₁, а ток I ₂ во второй ветви опережает напряжение по фазе на угол j ₂ (рис. 3.11, б).

 

При режиме РТ ток   I  на входе контура, как правило, меньше токов I ₁ и I ₂ ветвей, а для идеального контура ток I _РТ = 0 (рис. 3.11, г). При подключении приёмника R _н параллельно конденсатору (при , см. рис. 3.11, а) добротность нагруженного контура снижается тем сильнее, чем мень­ше R _н:

, где .

Приближённо полосу пропускания контура определяют по формуле

 или .                                             (3.49)

Резонанс токов широко применяется в радиотехнике, технике связи, измерительной технике, автоматике. Повышение коэффициента мощности приемников переменного тока путем параллельного подключения конденсаторов представляет собой мероприятие, в результате которого достигается резонанс токов.