Необходимые определения и обозначения

 

Бинарной алгебраической операцией на множестве  называют отображение декартова квадрата  во множество . Если – бинарная операция на , то каждой упорядоченной паре  элементов из  соответствует однозначно определенный элемент . Бинарную операцию на  обозначают одним из символов:  и т.д. Если, например, вместо  условимся писать , то вместо  пишем .

Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если  для всех .

Если  для всех , то операция называется ассоциативной.

Если  для всех , то операция называется коммутативной.

Элемент  называется единичным, если  для всех .

Обратным к элементу  называется такой элемент , что .

Полугруппой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на , т.е.  для всех  и ;

(2) операция ассоциативна, т.е.  для любых .

Группой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на , т.е.  для всех  и ;

(2) операция ассоциативна, т.е.  для любых ;

(3) в  существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что  для всех ;

(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого  существует такой элемент , что .

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.

Если G – конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число  элементов в  – порядком группы .

Также группой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на ;

(2) операция ассоциативна;

(3) уравнения ,  имеют решения для любых элементов .

Подмножество  группы  называется подгруппой, если  – группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующее обозначение: . Запись  читается так:  – подгруппа группы .

Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество  конечной группы  называется подгруппой, если  для всех  и

Каждая группа  обладает единичной подгруппой . Сама группа  также считается подгруппой в . Эти подгруппы называют тривиальными подгруппами. Нетривиальная подгруппа группы  это такая подгруппа  из , которая отлична от  и отлична от единичной подгруппы .

Собственной называется подгруппа, отличная от группы.

Пусть  – подмножество группы  и . Через

 

 

обозначим подмножество всех элементов группы  вида , где  пробегает все элементы множества . Подмножество  называется подмножеством, сопряженным подмножеству  посредством элемента .

Подгруппа  называется подгруппой, сопряженной подгруппе  посредством элемента .

Пусть  – непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества  в группе  и обозначается через . Таким образом,

Центром группы  называется совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом группы . Центр группы  обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы  совпадает с централизатором подмножества  в группе . Кроме того,

 

 

Зафиксируем элемент  в группе . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через . Таким образом,

 

 

Для элемента  имеются следующие две возможности.

Все степени элемента  различны, т.е.  для целых . В этом случае говорят, что элемент  имеет бесконечный порядок.

Имеются совпадения  при . Если, например, , то  и , т.е. существуют натуральные степени элемента , равные единичному элементу. Наименьшее натуральное число , при котором  называют порядком элемента  и пишут

Если группа  совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то группу  называют циклической группой. В этом случае в группе  имеется элемент  такой, что , все элементы в группе  являются целыми степенями элемента :

 

 

Если элемент  имеет бесконечный порядок, то все эти элементы в группе  попарно различны и  – бесконечная циклическая группа.

Если элемент  имеет конечный порядок , то , т.е. циклическая группа , порожденная элементом  порядка , состоит из  элементов. В этом случае  – конечная циклическая группа порядка .

Две группы  и  называются изоморфными, если существует биекция  такая, что  для всех . Факт изоморфизма записывают так: .

Пусть  – группа,  и . Правым смежным классом группы  по подгруппе  называется множество

 

 

всех элементов группы  вида , где  пробегает все элементы подгруппы .

Аналогично определяется левый смежный класс

 

 

Пусть  – подгруппа группы . Подмножество  элементов группы  называется правой трансверсалью подгруппы  в группе , если  содержит точно один элемент из каждого правого смежного класса группы  по подгруппе . Итак, если

 

– правая трансверсаль подгруппы  в группе , то

 

 

 – конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе  также будет конечно, оно называется индексом подгруппы  в группе  и обозначается через . Ясно, что индекс подгруппы  в конечной группе  совпадает с числом элементов в правой трансверсали  подгруппы , т.е.

 

 

Аналогично определяется левая трансверсаль подгруппы  в группе . Если

 

 

– левая трансверсаль подгруппы  в группе , то

 

 

Ясно, что индекс подгруппы  в конечной группе  совпадает с числом элементов в левой трансверсали  подгруппы , т.е. .

Пусть  и  – подгруппы группы  и . Множество

 

 

называется двойным смежным классом группы  по подгруппам  и .

При  двойной смежный класс

 

превращается в произведение подгрупп  и . В общем случае  не является подгруппой.

Говорят, что подгруппы  и   перестановочны, если . Равенство  означает, что для любых  существуют  такие, что .

Если , то говорят, что группа  есть произведение своих подгрупп  и , либо группа   факторизуема подгруппами  и . В этом случае каждый элемент  представим в виде , где .

Подгруппа  называется нормальной подгруппой группы , если  для всех .

Запись  читается так:  – нормальная подгруппа группы  Равенство  означает, что для любого элемента  существует элемент  такой, что .

В каждой группе  тривиальные подгруппы (единичная подгруппа  и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе  нет других нормальных подгрупп, то группа  называется простой. Единичную группу  считают непростой группой.

Пусть  – нормальная подгруппа группы . Обозначим через  совокупность всех левых смежных классов группы  по подгруппе , т.е.

 

 

Группа  называется факторгруппой группы  по подгруппе  и обозначается через .

Пусть  – простое число. p-группой называют конечную группу, порядок которой есть простого степень числа . Ясно, что подгруппы и факторгруппы любой -группы также являются -группами. Конечная группа называется примарной, если она является -группой для некоторого простого .

Силовской p-подгруппой конечной группы  называют такую -подгруппу, индекс которой не делится на .

Каждая нормальная подгруппа  группы  определяет цепочку . Обобщая эту ситуацию, цепочку

 

 

вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы  называют нормальным рядом в .

Ряд называется субнормальным, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е.  для

Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа  субнормальна в , то пишут ().

Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.

Пусть  – группа,  и  – ее подгруппы. Напомним, что произведение  определяется как множество элементов , где , . Если , то говорят, что группа  является произведением своих подгрупп  и . В этом случае каждый элемент  представим в виде , где , .

Произведение  называется прямым, если подгруппы  и  нормальны в  и . Прямое произведение обозначают так: . Итак, группа  является прямым произведением своих подгрупп, если выполняются следующие требования:

 

 

Можно дать следующее определение прямого произведения, эквивалентное начальному. Группа  является прямым произведением своих подгрупп  и , если:

– каждый элемент  единственным образом представим в виде , где , ;

– каждый элемент подгруппы  перестановочен с каждым элементом подгруппы .

Определение прямого произведения сформулировано для двух подгрупп. Для большего числа сомножителей определение выглядит так.

Минимальной нормальной подгруппой группы  называют такую нормальную подгруппу  группы , что  и в  нет нетривиальных нормальных подгрупп группы . Запись  означает, что  – минимальная нормальная подгруппа группы . Таким образом, если , то  и из условий  следует, что  или . Очевидно, что в каждой неединичной конечной группе имеется минимальная нормальная подгруппа.

Группа называется сверхразрешимой, если она обладает нормальным рядом с циклическими факторами.

Цоколем группы G называется подгруппа, являющаяся произведением всех минимальных нормальных подгрупп группы G. Цоколь группы G обозначают через . Таким образом,

 

 

Группа называется нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны.

Элементарной абелевой p-группой называют группу, являющуюся прямым произведением подгрупп порядка .

Собственная подгруппа  неединичной группы  называется максимальной подгруппой, если  не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т.е. если из условия  следует, что  или . Для максимальной подгруппы  неединичной группы  используется запись

В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы  и , что . Поэтому естественно рассмотреть элемент , для которого . Отсюда .

Коммутатором элементов  и  называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .

Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы , называется коммутантом группы  и обозначается через . Таким образом,

 

 

Для любой неединичной подгруппы  можно построить цепочку коммутантов

 

 

Если существует номер  такой, что , то группа  называется разрешимой.

Говорят, что подгруппа  группы   дополняема в , если существует такая подгруппа , что  и . В этом случае подгруппу  называют дополнением к подгруппе  в группе .

Пусть  – множество всех простых чисел, а  – некоторое множество простых чисел, т.е. . Дополнение к  во множестве  обозначим через , т.е. .

Зафиксируем множество простых чисел . Если , то число  называется -числом.

Подгруппа  группы  называется -подгруппой, если  есть -число. Подгруппа  называется -холловой подгруппой, если  есть -число, а индекс  есть -число. Таким образом, -холлова подгруппа – это такая -подгруппа, индекс которой не делится на простые числа из .

Подгруппа  группы  называется холловой подгруппой, если  – -холлова подгруппа для некоторого множества . Другими словами,  – холлова подгруппа тогда и только тогда, когда

 

 

-Холлову подгруппу, если она существует в группе , называют -дополнением.

Подгруппа  разрешимой группы  называется картеровой подгруппой группы , если  нильпотентна и .

Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы  называют подгруппой Фиттинга группы  и обозначают через .

Силовская система группы  полностью задаётся  силовскими -подгруппами группы  для любого , удовлетворяющего  для всех , .

Две силовские системы  и  из  называются сопряженными, если там существует элемент  такой, что  для всех .

Напомним, что подгруппа  группы  называется абнормальной если  и  сопряжены в в  для любого .