Рассмотрим основные свойства функции распределения, следующие непосредственно из определения:
. (31.1)
1. Введем обозначение: . Тогда из определения следует . Здесь выражение рассматривается как невозможное событие с нулевой вероятностью.
2. Пусть . Тогда из определения функции следует . Случайное событие является достоверным и его вероятность равна единице.
3. Вероятность случайного события , состоящего в том, что случайная величина принимает значение из интервала при определяется через функцию следующим равенством
. (31.2)
Для доказательства этого равенства рассмотрим соотношение
. (31.3)
События и несовместны, поэтому по формуле сложения вероятностей из (31.3) следует
, (31.4)
что и совпадает с формулой (31.2), поскольку и .
4. Функция является неубывающей. Для доказательства рассмотрим . При этом справедливо равенство (31.2). Его левая часть , поскольку вероятность принимает значения из интервала . Поэтому и правая часть равенства (31.2) неотрицательна: , или . Это равенство получено при условии , поэтому - неубывающая функция.
|
|
5. Функция непрерывна справа в каждой точке , т.е.
, (31.5)
где - любая последовательность, стремящаяся к справа, т.е. и .
Для доказательства представим функцию в виде:
. (31.5)
Отсюда
. (31.6)
Теперь на основании аксиомы счетной аддитивности вероятности выражение в фигурных скобках равно , таким образом
, что и доказывает непрерывность справа функции .
Таким образом, каждая функция распределения вероятностей обладает свойствами 1-5. Верно и обратное утверждение: если , , удовлетворяет условиям 1-5,то она может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.