Моментные функции случайного процесса

72.1. Пусть  - случайный процесс, имеющий плотность  и  функция  переменных. Вместо аргумента  ,  , функции  подставим . Тогда  - случайная величина, математическое ожидание которой определяется соотношением:

.

 (72.1)

Рассмотрим простейшие примеры функции . 1) Пусть  - функция одной переменной, тогда  и (72.1) принимает вид:

.                           (72.2)

Функция  называется математическим ожиданием (средним, статистическим средним) случайного процесса . 2) Аналогично выбор   приводит к равенству

.  (72.3)

Функция  называется корреляционной функцией случайного процесса . 3) Аналогично вводятся дисперсия

             (72.4)

и ковариационная функцией случайного процесса

. (72.5)

Получим соотношение, связывающее функции . Из (72.5) следует

 .      (72.6)

Здесь использовалось равенство , поскольку  - детерминированная функция и ее можно вынести за оператор математического ожидания. Таким образом, (72.6) принимает вид

.                       (72.7)

72.2. Функции вида

 ,                           (72.8)

где целые числа , называются начальными моментами порядка  случайного процесса . Аналогично центральные моменты определяются соотношениями:

 .                   (72.9)

Для функций (72.8), (72.9) используется общее название - моментные функции. Наиболее простые моментные функции (до второго порядка) - это рассмотренные выше математическое ожидание , дисперсия  корреляционная и ковариационная функции , , - находят широкое практическое применение в экспериментальных исследованиях в отличие от моментов более высоких порядков, которые используютя только в теоретических расчетах.