Линейные операции над векторами

Основные определения.

 

При изучении различных физических процессов и явлений нам приходится иметь дело с объектами разной природы. Некоторые величины в физике, механике и технике полностью описываются заданием их числовых значений. Такими величинами, например, являются длина, объём тела, его масса, температура, электрический заряд и другие.

Эти величины называются скалярными или просто скалярами.

Однако, чтобы задать такие величины как скорость, ускорение, силу, напряженность магнитного поля и так далее, необходимо указать не только численное значение этой величины, но и её направление в пространстве.

Определение 1.

Величина, для которой указаны ее численное значение и направление, называется векторной или вектором.

 

Векторы изображаются направленными прямолинейными отрезками и обозначаются  или , где точки  и – начало и конец вектора соответственно. Так фиксируется его направление.

Численное значение векторной величины называется длиной или модулем вектора и обозначается    или    (длина отрезка).

Если , то  – нулевой вектор; направление нулевого вектора

не определено, т. е. его можно считать произвольным.

Определение 2.

Если задан ненулевой вектор , то единичный вектор того же направления   называется ортом вектора .

Определение 3.

Два вектора  и  называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Это обычно обозначают так . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Определение 4.

Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Нулевой вектор считается компланарным любой системе компланарных между собой векторов.

Определение 5.

Два вектора равны, т.е. , если выполнены три условия:

1. модули их равны = ;

2. они параллельны друг другу ; 

3. вектора   и  одинаково направлены.

 

Из определения равенства векторов следует, что параллельное перемещение не меняет вектора. Этим свойством можно пользоваться, чтобы приводить векторы к общему началу, т. е. откладывать их из одной точки. Такие вектора называют свободными.

 

Линейные операции над векторами.

 

Операции сложения, вычитания векторов и умножения  вектора на скаляр называются линейными.