Свойства векторного умножения векторов

1. .

Т.к. ,

причем векторы и коллинеарны, но направлены противоположно.

2. , если или или .

Действительно, если оба вектора ненулевые, то при

В частности для любого вектора .

Таким образом, для коллинеарности двух ненулевых векторов необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю.

3. Ассоциативность (или сочетательность) относительно скалярного множителя: если – скаляр, то справедливо равенство

Действительно.

Пары векторов и лежат в одной плоскости, . Также легко можно убедиться в справедливости и второй части равенства.

4. Дистрибутивность относительно сложения векторов:

5. Векторные произведения координатных ортов.

, , ;

где – координатные орты;

6. Найдем теперь координаты векторного произведения векторов в декартовом базисе .

Пусть и .

Используя уже рассмотренные свойства, получим

Итак, если и , то

Смешанное произведение трех векторов.

Если взять вектор и умножить его векторно на вектор , а затем полученный вектор скалярно умножить на третий вектор , то получим векторно-скалярное или смешанное произведение трёх векторов.

Определение.

Смешанным произведением трех векторов , и называется скалярное произведение вектора на вектор . Смешанное произведение векторов обозначается так .

Свойства смешанного произведения.

1. , тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

2. Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение некомпланарных отличных от нуля векторов по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на векторах .

Покажем это. Приведём все три вектора к одному началу и построим на них параллелепипед. Пусть основанием параллелепипеда является параллелограмм, построенный на векторах . Площадь этого параллелограмма . Обозначим через единичный вектор, перпендикулярный плоскости основания нашего параллелепипеда, а через – угол между векторами и . Тогда . Скалярное произведение векторов , взятое по абсолютной величине, равно высоте h нашего параллелепипеда (если тройка векторов правая, то , а если вектора , и образуют левую тройку векторов, то ).

Объем параллелепипеда

= .

Очевидно, что правая и левая части этого равенства равны по абсолютной величине и имеют одинаковые знаки.

Таким образом, смешанное произведение трёх векторов есть число, модуль которого равен объёму параллелепипеда, построенного на данных векторах. Это число положительное, если векторы образуют правую тройку векторов и отрицательное в противном случае.

3. Круговая перестановка сомножителей в смешанном произведении не меняет его величины, так как при круговой перестановке векторов правая тройка векторов остаётся правой, а левая – левой, т. е. .

4. Из определения смешанного произведения и векторного произведения следует, что при перестановке местами двух соседних сомножителей смешанного произведения оно меняет знак, так как при такой перестановке векторов правая тройка становится левой, а левая – правой, то есть