;
б ) дифференцировать обе части полученного равенства, где есть сложная функция от х,
.
в) заменить его выражением через х
.
Билет 15:
Вопрос 1: Определение эллипса. Вывод уравнения:
Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.
эллипс - это кривая, получающаяся как проекция на плоскость окружности, лежащей в плоскости, которая образует острый угол с плоскостью .
В отличие от окружности, записать в "удобном" виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат так, чтобы его уравнение было достаточно простым.
Пусть и - фокусы эллипса. Начало системы координат расположим на середине отрезка . Ось направим вдоль этого отрезка, ось - перпендикулярно к этому отрезку (рис. 1).
Теорема 1: Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна , а расстояние между фокусами - . Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение
|
|
(1) |
где
(2) |
Доказательство. Пусть -- текущая точка эллипса. По определению эллипса . Из треугольника (рис. 12.3) видно, что , то есть , , и поэтому число существует.
Рис.1.
Фокусами в выбранной системе координат являются точки , . По формуле для плоского случая находим
Тогда по определению эллипса
Перенесем один из корней вправо и обе части возведем в квадрат:
После того, как раскроем скобки и приведем подобные члены, приходим к выражению
Разделим обе части этого уравнения на 4 и возведем в квадрат
Раскроем скобку и приведем подобные члены
Учитывая, что , имеем равенство
Наконец, разделив обе части на , получим уравнение (3).
Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипса.
Рис.2. Эллипс
Вопрос 2: Теорема Ферма:
Теорема: Пусть функция имеет на множестве точку экстремума , причём множество содержит некоторую -окрестность точки . Тогда либо имеет в точке производную, равную 0, то есть , либо производная в точке не существует.
Рис.5.1.Поведение функции в окрестности точки экстремума
Геометрический смысл: Заметим, что условие означает, что тангенс угла наклона касательной к графику , проведённой при , равен 0. Отсюда , то есть теорема Ферма утверждает, что касательная, проведённая в точке экстремума, горизонтальна (если эта касательная существует).
Доказательство теоремы Ферма. Если производная в точке экстремума не существует, то утверждение теоремы верно. Предположим, что производная существует. Рассмотрим два случая.
|
|
Пусть функция имеет в точке максимум. Тогда при всех , поскольку . Если взять , то , и поэтому . При вычислении производной мы переходим к пределу при в этом разностном отношении. При этом знак нестрогого неравенства сохраняется, когда мы берём предел справа:
Аналогично, при , , и поэтому . Отсюда, вычисляя предел слева, получаем:
Итак, выполняются два неравенства: и , что возможно лишь при .
Пусть теперь функция имеет в точке минимум. Тогда при всех , поскольку . Если взять , то , и поэтому . Переходя к пределу при в разностном отношении, получаем:
Аналогично, при , , и поэтому . Вычисляя предел слева, получаем:
Из неравенств и получаем, что .
Билет 16:
Вопрос 1:Определение гиперболы. Вывод уравнения:
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами
.
y M(x, y) b r1 r2 x F1 a F2 c По определению r1 – r2= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.
Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:
Обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось) =
Получили каноническое уравнение гиперболы. Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат. Ось 2а называется действительной осью гиперболы.
Ось 2b называется мнимой осью гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых
Вопрос 2: Теорема Ролля:
Теорема: Пусть функция дифференцируема на интервале , непрерывна в точках и и принимает в этих точках значение 0: . Тогда найдётся хотя бы одна точка , в которой .
Замечание: Это утверждение можно переформулировать так: между двумя корнями и дифференцируемой функции обязательно найдётся корень её производной (то есть точка , такая что ). Условие означает, что касательная, проведённая к графику при , расположена горизонтально.
Заметим также, что теорема Ролля не утверждает, что корень - единственный корень производной на интервале ; на этом интервале может находиться несколько корней производной.
Рис.5.4.Между двумя корнями дифференцируемой функции лежит хотя бы один корень её производной
Геометрический смысл:
Если крайние ординаты равны, то внутри найдется точка, в которой касательная будет параллельна оси абсцисс.
Доказательство теоремы Ролля. Так как при наших предположениях функция непрерывна на отрезке , то она принимает своё максимальное значение и минимальное значение в некоторых точках и этого отрезка.
Рассмотрим два случая. Если , то наибольшее и наименьшее значения функции совпадают, и, следовательно, функция постоянна на отрезке : . Значит, при всех , и в качестве в этом случае можно взять любую точку интервала .
Если же , то либо , либо отлично от 0 и, следовательно, либо точка , либо точка не совпадает с концами отрезка и , то есть лежит внутри интервала . Пусть, для определённости, - внутренняя точка интервала. Тогда, по теореме Ферма, , поскольку по предположению доказываемой теоремы, имеет производную во всех точках интервала и, следовательно, в точке . Итак, в этом случае точку можно взять в качестве искомой точки : тогда .
Билет 17:
Вопрос 1: Определение параболы. Вывод уравнения:
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.
у
А М(х, у)
|
|
О F x
p/2 p/2
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.
Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;
MF2 = y2 + (x – p/2)2
(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2
x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4
y2 = 2px
Уравнение директрисы: x = -p/2.
Вопрос 2: Теорема Коши:
Теорема: Пусть функции и дифференцируемы на интервале и непрерывны при и , причём при всех . Тогда в интервале найдётся такая точка , что
Геометрический смысл: Данные теоремы состоят в том, что внутри есть точка t0, угловые коэффициенты в которой вычисляются по равенству:
Доказательство. Докажем сначала, что , то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений:
при некотором . Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля.
Для доказательства теоремы введём вспомогательную функцию
Функция , очевидно, является дифференцируемой при всех и непрерывной в точках и , поскольку этими свойствами обладают функции и . Кроме того, очевидно, что при получается . Покажем, что и :
Значит, функция удовлетворяет на отрезке условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка , что .
Вычислим теперь производную функции :
Получаем, что
откуда получаем утверждение теоремы:
Замечание: Можно считать функции и координатами движущейся на плоскости точки, которая описывает линию , соединяющую начальную точку с конечной точкой .(Тогда уравнения и параметрически задают некоторую зависимость , графиком которой служит линия .)
Рис.5.6.Хорда параллельна некоторой касательной к кривой
Отношение , как нетрудно видеть из чертежа, задаёт тогда угловой коэффициент хорды, соединяющей точки и . В то же время, по формуле производной функции, заданной параметрически, имеем: . Значит, дробь - это угловой коэффициент касательной к линии в некоторой точке . Тем самым утверждение теоремы означает, с геометрической точки зрения, что на линии найдётся точка такая, что проведённая в этой точке касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки линии. Но это - то же самое утверждение, которое составляло геометрический смысл теоремы Лагранжа. Только в теореме Лагранжа линия была задана явной зависимостью , а в теореме Коши - зависимостью, заданной в параметрической форме.
|
|
Билет 18:
Вопрос 1: Понятие матрицы. Классификация матриц:
Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца. А =