Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D)

1. Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.

2. Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.

3. Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.

4. Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.

5. Если функция f возрастает и неотрицательна, то где , также возрастает.

6. Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f n также возрастает.

7. Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Билет 22:

Вопрос 1: Основные свойства определителей:

Свойство1: При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .

Свойство 2: Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть .

Свойство 3: Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.

Свойство 4: Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

Свойство 5: Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.

Свойство 6: Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

Свойство 7: Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

Свойство 8: Пусть в матрице -ая строка имеет вид . Тогда , где матрица получается из матрицы заменой -ой строки на строку , а матрица -- заменой -ой строки на строку .

Свойство 9: Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

Свойство 10: Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.

Свойство 11: Алгебраическим дополнением к элементу матрицы называется число, равное , где -- определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием -ой строки и -ого столбца.

Алгебраическое дополнение к элементу матрицы обозначается .

Свойство 12: Разложение определителя по произвольной строке. Для определителя матрицы справедлива формула

Свойство 13: Для квадратной матрицы порядка при выполнено соотношение

(1)

Свойство 14: Все свойства определителя, сформулированные для строк справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по -ому столбцу

(2)

и равенство

при .

Свойство 15: Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

Вопрос 2: Определение точек перегиба. Достаточное условие перегиба:

Точка перегиба функции внутренняя точка x₀ области определения функции такая, что функция непрерывна в этой точке, и x₀ является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и концом интервала строгой выпуклости вниз.

В этом случае точка (x₀;f(x₀)) является точкой перегиба графика функции, т. е. график функции f в точке (x₀;f(x₀)) «перегибается» через касательную к нему в этой точке:

при x<x₀ касательная лежит под графиком f, а при x > x₀ — над графиком функции (или наоборот).

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x₀, имеет в x₀ точку перегиба, то f''(x₀) = 0.

Достаточное условие существования точки перегиба: если функция f(x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно и , и f(n) = 0 при n = 2,3,...,k − 1, а , то функция f(x) имеет в x₀ точку перегиба.

Билет 23:

Вопрос 1: Алгебраическое дополнение. Теорема Лапласа:

Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы. В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, …,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

Вопрос 2: Асимптоты графиков функции:

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Определение: Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , , . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка принадлежала области определения функции , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: или , где .

Определение: Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если выполнены два условия:
1) некоторый луч целиком содержится в ;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если:
1) некоторый луч целиком содержится в ;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при и при

В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при , она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота - частный случай наклонной асимптоты; прямая является горизонтальной асимптотой графика при или , если или соответственно.

Определение: Линия называется асимптотической линией графика функции при (или при ), если обе эти функции определены на некотором луче (или луче ) и разность ординат графиков стремится к 0 при (или при , соответственно).

Если функция - линейная, то есть график - наклонная прямая, то асимптотическая линия - это наклонная асимптота. Однако и другие линии бывает естественно рассматривать в качестве асимптотических.

Замечание: Функции и входят в определение асимптотической линии симметрично: если график - асимптотическая линия для графика , то и - асимптотическая линия для . На практике, однако, естественно считать асимптотической линией тот из двух графиков, который задаётся более простой формулой и вид которого известен.

Вернёмся к наклонным асимптотам - прямым линиям с уравнением . Для их нахождения в тех случаях, когда значения и не очевидны, можно применять следующую теорему.

Теорема: Прямая служит наклонной асимптотой для графика при (или при ) в том и только том случае, когда и

(соответственно, если и

Таким образом, для нахождения наклонной (или горизонтальной, если получится ) асимптоты достаточно найти два указанных предела и, затем, . Прямая будет искомой асимптотой. Если же какой-либо из этих двух пределов не существует, то нет и соответствующей асимптоты.

Доказательство теоремы. Докажем теорему в случае ; доказательство при проводится совершенно аналогично.

Условие, задающее асимптоту, в виде

Так как первый множитель , то второй множитель, стоящий в квадратных скобках, должен быть бесконечно малым, то есть

Но и , так что

откуда следует равенство. Теперь число уже известно.

Подставляя это число в формулу, находим, что

откуда следует равенство.

Замечание: Из определения асимптоты не следует, что если асимптоты при и при для одного и того же графика существуют, то они непременно совпадают. Это могут быть и различные прямые, как показывает следующий простой пример.

Замечание: Если график имеет асимптоту (например, при ) и существует предел производной:

то . Иными словами, если угловой коэффициент касательной имеет предел, то этот предел равен угловому коэффициенту асимптоты ¹⁷.

Однако асимптота может существовать и в случае, когда производная не имеет никакого предела при . Дело в том, что значения могут совершать мелкие, но частые колебания относительно ординаты асимптоты, так что значения производной могут при этом испытывать незатухающие колебания. Проиллюстрируем эту возможность следующим примером.

Билет 24:

Вопрос 1: Собственные числа и собственные векторы матрицы:

Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число , что выполняется равенство:

A .

При этом число  называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни 1, 2, …,n уравнения:

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

;

в некотором базисе .

Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением , то А .

или

Т.к. собственный вектор ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

Таким образом, можно найти собственный вектор (х1, х2) линейного преобразования А с собственным значением , где  - корень характеристического уравнения, а х1 и х2 – корни системы уравнений при подстановке в нее значения .

Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением .

Вопрос 2: Общая схема исследования функции:

Пусть дана функция f(x). Для её исследования нужно:

1). Найти её область определения . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений . (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения откладывается до нахождения экстремумов функции.)

2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси ), не является ли она периодической.

3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения , если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.

4). Если область определения вклоючает в себя лучи вида или , то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при или соответственно.

5). Найти точку пересечения графика с осью (если ). Для этого нужно вычислить значение . Найти также точки пересечения графика с осью , для чего найти корни уравнения (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение часто удаётся решить лишь приближённо, но уже отделение корней19 помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.

6). Найти интервалы монотонности функции (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной .

На стыках интервалов монотонности найти точки локального экстремума; вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.

7). Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции. Это делается с помощью исследования знака второй производной . Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции.

8). В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.

После выяснения свойств функции, упомянутых в пунктах 1 - 8, и нахождения опорных точек (точек пересечения с осями координат, точек графика, соответствующих точкам локального экстремума, точкам перегиба и проч.) мы можем достаточно точно построить график.

Билет 25:

Вопрос 1: Система линейных уравнений. Матричная форма записи:

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом: , (1) где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений вида (1) матрица А = называется матрицей системы, а матрица А*= называется расширенной матрицей системы

Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна.

Вопрос 2: Определение функции нескольких переменных. Линии уровня. Область определения:

Определение: Пусть X, Y, Z – некоторые числовые множества. Функцией двух переменных называет множество f упорядоченных троек чисел (x;y;z), таких, что х принадлежит Х, у принадлежит У, z принадлежит Z и каждая упорядоченная пара чисел (х;у) входит в одну и только одну тройку этого множества, а каждое z входит по крайней мере в одну тройку. При этом говорят, что упорядоченной паре чисел (х;у) поставлено в соответствие число z, и пишут z=f(x;y). Число z называется значением функции f в точке (х;у). Переменную z называют зависимой переменной, а переменные х и у – независимыми переменными (аргументами); множество {(x;y)} – областью определения функции, а множество Z – множеством значений функции.

Примеры функций двух переменных:

1. z=x²+y². Область определения этой функции – множество {M} всех пар чисел (х;у), то есть вся плоскость Оху, а множество значений – промежуток Z=[0,).

2. . Область определения данной функции является множество всех точек, для которых выражение определенно, то есть множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству x²+y²-1>0 или x²+y²>1. Это множество точек, лежащих вне круга радиуса R=1 с центром в начале координат, а множество значений функции представляет собой промежуток Z=([0,).

Аналогично можно дать определение функции трёх переменных u=f(x;y;z), четырех переменных u=f(x;y;z;t) и вообще n переменных u=f(x₁;x₂;...;x_n).

Функция двух переменных изображается в пространстве в виде поверхности, которая определяется уравнением z=f(x;y), то есть сама формула, задающая функцию, и есть уравнение этой поверхности.

Определение: назовем линии уровня функции z=f(x;y) множество точек (х;у) плоскости Оху, в которых функция принимает одно и то же значение с. Очевидно, при различных с получаются различные линии уровня для данной функции.

Билет 26:

Вопрос 1: Формула Крамера:

Метод Крамера. (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. det A ; Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема. (Правило Крамера): Система из n уравнений с n неизвестными в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: xi = i, где  = det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi. i =