Классификация матриц

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида: = E, называется единичной матрицей.

Определение. Если amn = anm, то матрица называется симметрической. Пример. - симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Вопрос 2: Теорема Лагранжа:

Теорема: Пусть функция дифференцируема на интервале и непрерывна в точках и . Тогда найдётся такая точка , что

Геометрический смысл: Дадим сначала геометрическую иллюстрацию теоремы. Соединим конечные точки графика на отрезке хордой. Конечные приращения и - это величины катетов треугольника, гипотенузой которого служит проведённая хорда.

Рис.5.5.Касательная в некоторой точке параллельна хорде

Отношение конечных приращений и - это тангенс угла наклона хорды. Теорема утверждает, что к графику дифференцируемой функции можно провести в некоторой точке касательную, которая будет параллельна хорде, то есть угол наклона касательной ( ) будет равен углу наклона хорды ( ). Но наличие такой касательной геометрически очевидно.

Заметим, что проведённая хорда, соединяющая точки и - это график линейной функции . Поскольку угловой коэффициент этой линейной функции равен, очевидно, , то

Доказательство теоремы Лагранжа. Сведём доказательство к применению теоремы Ролля. Для этого введём вспомогательную функцию , то есть

Заметим, что и (по построению функции ). Так как линейная функция дифференцируема при всех , то функция удовлетворяет, тем самым, всем свойствам, перечисленным в условии теоремы Ролля. Поэтому найдётся такая точка , что .

Заметим теперь, что

Значит, равенство можно переписать в виде

Из теоремы Лагранжа вытекает утверждение, обратное к тому, что производная постоянной есть 0, а именно:

Следствие: Пусть на интервале функция имеет производную , тождественно равную 0: . Тогда на интервале .

Доказательство. Заметим для начала, что непрерывность функции в любой точке интервала следует из дифференцируемости в этой точке. Значит, теорему Лагранжа можно применить к функции на любом отрезке .

Возьмём любые две точки , такие что , и выпишем для функции на отрезке формулу конечных приращений: , при некотором . Но в любой точке производная по предположению равна 0, в том числе . Отсюда , или . Обозначим это общее значение через . Выбирая произвольно точку , получим, что при всех ; выбирая произвольно точку , - что при всех . Но это означает, что при всех .

Билет 19:

Вопрос 1: Действия с матрицами:

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц. cij = aij  bij С = А + В = В + А. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.  (А+В) =А  В А() = А  А Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В. 2А = , 2А + В = .