2014-02-12
2269
Неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид:
, (5.16)
в котором коэффициенты 
- постоянные вещественные числа.
Общее решение уравнения (5.16) имеет следующую структуру
.
Как найти общее решение однородного уравнения мы уже знаем, поэтому основная задача состоит в нахождении частного решения неоднородного уравнения. Рассмотрим методы нахождения частных решений и построения общего решения уравнения (5.16).
1. Один из первых методов, с помощью которого может быть найдено частное и общее решение уравнения (5.16), является метод вариации произвольной постоянной или метод Лагранжа.
Суть метода заключается в том, что по общему решению однородного уравнения составляется частное решение неоднородного уравнения путем вариации произвольной постоянной:
, (5.17)
где 
- некоторые непрерывно дифференцируемые функции от х, которые необходимо определить; λi – корни характеристического уравнения.
Для нахождения функций Лагранж предложил вычислить производную функции (5.17)
|
|
|
и первую сумму приравнять нулю
. (5.18)
От оставшейся части первой производной
, (5.19)
вычисляем вторую производную
,
и приравниваем первую сумму нулю
. (5.20)
От оставшейся части второй производной
, (5.21)
вычисляем третью производную
,
и приравниваем первую сумму нулю
. (5.22)
От оставшейся части третьей производной
, (5.23)
вычисляем четвертую производную и также как и в предыдущих случаях приравниваем нулю первое слагаемое и продолжаем этот процесс до (n -1)-й производной
.
В полученной производной также приравниваем нулю первое слагаемое
. (5.24)
От оставшейся части в (n -1)-й производной
, (5.25)
вычисляем n -ю производную
. (5.26)
Затем подставив функцию (5.17) и производные (5.19), (5.23) и т.д., (5.25) и (5.26) в уравнение (5.16), получим
или
(5.27)
В этом уравнении все yi являются частными решениями однородного уравнения - 
поэтому уравнение (5.27) принимает вид
(5.28)
Таким образом, из уравнений (5.18), (5.20), (5.22), (5.24) и (5.28) можно составить систему
(5.29)
Определитель этой системы представляет собой определитель Вронского для системы решений 
, который отличен от нуля при любом значении х из интервала [a,b]. Поэтому система (5.29) дает единственное решение относительно 
при любом значении х из интервала [a,b]:
откуда
. (5.30)
Подставляя значения в формулу (5.17), получим искомое частное решение неоднородного линейного уравнения (5.16).
Запишем алгоритм нахождения частного решения этим методом и рассмотрим пример.
Алгоритм нахождения частного решения уравнения п -го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
|
|
|
1. Решить однородное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (5.16). Полученное решение записать в виде:
.
где 
- фундаментальная система решений однородного уравнения.
2. Выписать структуру частного решения неоднородного уравнения в виде:
.
3. Записать систему (5.29) для определения функций 
.
4. Путем интегрирования 
найти функции 
(произвольные постоянные, возникающие при интегрировании, положить равными нулю).
5. Полученные функции 
, подставить в выражение для 
, которое и будет частным решением неоднородного уравнения (5.16).
Пример 5.4. Найти частное и общее решение уравнения:
.
▲ В соответствии с методом Лагранжа, составим соответствующее этому неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами однородное уравнение
и решим его. Для этого запишем характеристическое уравнение: 
. Это характеристическое уравнение имеет корни: 
.
Мы видим, что корни характеристического уравнения комплексные, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:
.
Будем искать частное решение исходного уравнения в виде
. (П5.4.1)
Составим систему (5.29)
или сокращая на е 2 х ,
. (П5.4.2)
Решить эту систему относительно 
можно различными способами, например, используя правило Крамера. В данном случае удобнее сначала преобразовать второе уравнение, а именно, умножить обе его части первого уравнения на –2 и затем прибавить полученный результат ко второму. В итоге получим уравнение:
и, следовательно, этим уравнением можно заменить второе уравнение в системе (П5.4.2)
Решая эту систему по правилу Крамера, получим
.
Подставляя полученные значения 
в (П5.4.1), получим частное решение исходного неоднородного уравнения
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:
.▲
2. Другой метод нахождения частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами является так называемый метод подбора или метод неопределенных коэффициентов. Этот метод основан на том, что структура частного решения неоднородного линейного уравнения п -го порядка (5.16) в некоторых случаях повторяет структуру правой части, то есть определяется видом функции 
. Это случаи, когда можно представить в виде комбинаций основных функций: многочленов, показательной и тригонометрических функций. Точнее говоря, метод неопределенных коэффициентов применим к функциям специального вида, то есть к функциям, которые можно записать следующим образом:
, (5.31)
где Rq (x), Pl (x) – многочлены переменной х степени q и l соответственно; a,b - заданные действительные числа.
Итак, если правая часть уравнения (5.16) имеет вид (5.31), то частное решение этого уравнения подбирается в виде:
, (5.32)
где т = max (q,l); Qm (x), Tm (x) – многочлены переменной х степени т с неопределенными коэффициентами и определяются следующим образом:
(5.33)
где 
- неопределенные коэффициенты, которые необходимо определить; а натуральное число s в формуле (5.32) определяется так:
Таким образом, по корням характеристического уравнения и виду правой части можно указать вид частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами.
