Анализ устойчивости цифровой системы управления

Устойчивость цифровой системы управления исследуется по характеристическому полиному:

A (z) = z ² + a ₁ z + a ₀, (1)

представляющему собой знаменатель импульсной передаточной функции замкнутой системы.

В устойчивой системе корни z ₁ и z ₂ характеристического уравнения:

z ² + a ₁ z + a ₀ = 0, (2)

должны располагаться внутри единичной окружности, график которой показан на рис. 4.6.1. На этой окружности вещественная точка 1 соответствует границе апериодической устойчивости (z = 1), вещественная точка 2 — границе колебательной устойчивости с периодом колебаний T_k = 2 T _M (z = –1), а комплексные дуги 3 соответствуют границам колебательной устойчивости с периодом колебаний T _k > 2 T _M (mod z = 1).

Рис. 4.6.1. Область устойчивости цифровой системы управления
на комплексной плоскости Z

Граница апериодической устойчивости, при z = 1 в характеристическом уравнении:

Границу колебательной устойчивости с периодом колебаний Т_к = 2Т_м можно получить, положив z = -1: .

Колебательную границу устойчивости при Т_к > 2Т_м можно найти, приняв mod z = 1.

Запишем для этого комплексные значения корней:

. (3)

Тогда модуль будет равен:

, (4)

или

Отсюда имеем уравнение границы устойчивости: .

Уравнения границ устойчивости образуют на плоскости { , } треугольник устойчивости.

Рис.4.6.2. Область устойчивости цифровой системы на плоскости параметров а₁ и а₀.

Переходная характеристика системы будет апериодической, если выполняются условия:

(5)

Отсюда получим график границы апериодической устойчивости: при a₁<0.

Область апериодической настройки цифровой САУ выделена на рис.4.6.2 штриховкой.

ЛАЧХ и ЛФЧХ цифровой системы управления

Расчет переходной характеристики цифровой системы управления следует производить по рекуррентной формуле:

, (6)

при следующих начальных условиях:

, где =1.

Частота дискретизации:

рад/с

Дискретная передаточная функция:

(7)

Дискретная передаточная функция ПИ-регулятора:

(8)

Дискретная передаточная функция разомкнутой СУ:

(9)

Частотные характеристики цифровой СУ:

(10)

(11)

(12)

На рис.4.6.3 и 4.6.4 показаны графики логарифмических амплитудно-частотных характеристик цифровой системы с графиком ЛАЧХ непрерывной системы, и графики ЛФЧХ цифровой и непрерывной СУ.

Рис.4.6.3. График ЛФЧХ цифровой и непрерывной СУ технологическим объектом.

Рис.4.6.4. График ЛАЧХ цифровой и непрерывной СУ технологическим объектом.

4.7. Исследование устойчивости системы для Tm1=Tm, Tm2=5Tm, Tm3=10Tm, Tm4=20Tm.

1. Tm1=Tm

(1)

(2)

(3)

(4)

Рис.4.7.1. Положение точки [а₁₁;а₀₁] на плоскости параметров цифровой системы управления при Т_m1=T_m

2. Tm2=5Tm

1/с

(5)

(6)

(7)

(8)

Рис.4.7.2. Положение точки [а₁₂;а₀₂] на плоскости параметров цифровой системы управления при Т_m2=5T_m

3. Tm3=10Tm

1/с

(9)

(10)

(11)

(12)

Рис.4.7.3. Положение точки [а₁₃;а₀₃] на плоскости параметров цифровой системы управления при Т_m3=10T_m

4. Tm4=20Tm

1/с

(13)

(14)

(15)

(16)

Рис.4.7.4. Положение точки [а₁₄;а₀₄] на плоскости параметров цифровой системы управления при Т_m4=20T_m

Графики уравнений:

образуют на плоскости треугольник устойчивости, который изображен выше. На этой плоскости устойчивой системе соответствует точка с координатами {a1i,a0i}.

Расчет переходной характеристики цифровой системы управления для

, (17)

, (18)

(19)

График переходной характеристики цифровой системы управления имеет вид:

(20)

(21)

Рис. 4.7.5. Переходная характеристика цифровой системы при

Показатели качества цифровой системы управления, работающей в дискретном режиме:

1) время регулирования:

с.

Максимальное значение, которое достигла переходная характеристика равно:

2) значение перерегулирования равно:

; (22)

при .

Расчет переходной характеристики цифровой системы управления для

(23)

(24)

Перерегулирование:

(25)

Рис. 4.7.6. Переходная характеристика цифровой системы при

Показатели качества цифровой системы управления, работающей в дискретном режиме:

1) время регулирования:

Максимальное значение, которое достигла переходная характеристика равно:

2) значение перерегулирования равно:

; (26)

при .

Расчет переходной характеристики цифровой системы управления для

(27)

(28)

Рис. 4.7.7. Переходная характеристика цифровой системы при

Показатели качества цифровой системы управления, работающей в дискретном режиме:

1) время регулирования:

с.

Максимальное значение, которое достигла переходная характеристика равно:

2) значение перерегулирования равно:

; (29)

при .

Переходная характеристика цифровой системы управления для

(30)

(31)

(32)

Рис. 4.7.8. Переходная характеристика цифровой системы при

Таким образом, данные об устойчивости системы, полученные с помощью переходных характеристик, совпадают с данными, полученными с помощью области устойчивости системы.

4.8. Исследование системы на бесконечную степень устойчивости