Коэффициент корреляции

Перейдем к оценке тесноты корреляционной зависимости. Рассмотрим наиболее важный для практики и теории случай линейной зависимости вида (1.15).На первый взгляд подходящим измерителем тесноты связи Y от Х является коэффициент регрессии  ибо, как уже отмечено, он показывает, на сколько единиц в среднем изменяетсяY, когда Х увеличивается на одну единицу. Однако  зависит от единиц измерения переменных. Например, в полученной ранее зависимости он увеличится в 1000 раз, если величину основных производственных фондов Х выразить не в млн руб., а в тыс. руб.

Очевидно, что для «исправления»  как показателя тесноты связи нужна такая стандартная система единиц измерения, в которой данные по различным характеристикам оказались бы сравнимы между собой. Статистика знает такую систему единиц. Эта система использует в качестве единицы измерения переменной ее среднее квадратическое отклонение s.

Представим уравнение (1.15) в эквивалентном виде:

                                      (1.22)

В этой системе величина

r =                                                            (1.23)

показывает, на сколько величин  изменится в среднем Y, когда X увеличится на одно .Величина r является показателем тесноты линейной связи и называется выборочным коэффициентом корреляции (или просто коэффициентом корреляции).

На рис. 1.2 приведены две корреляционные зависимости переменной Y по Х. В случае а) зависимость между переменными менее тесная и коэффициент корреляции должен быть меньше, чем в случае б), так как точки корреляционного поля а) дальше отстоят от линии регрессии, чем точки поля б).

Нетрудно видеть, что r совпадает по знаку с  (а значит, и с )

Если r > 0 ( > 0, > 0), то корреляционная связь между переменными называется прямой, если r < 0 ( < 0, < 0) – обратной. При прямой (обратной) связи увеличение одной из переменных ведет к увеличению (уменьшению) условной (групповой) средней другой.

Учитывая равенство (1.16), формулу для r представим в виде:

                                                    (1.24)

Отсюда видно, что формула для r симметрична относительно двух переменных, т.е. переменные Х и Y можно менять местами. Тогда аналогично формуле (1.24) можно записать:

                                                           (1.25)

Найдя произведение обеих частей равенств(1.24) и (1,25), получим:

                                                        (1.26)

или

                                           (1.27)

т.е. коэффициент корреляции r переменных Х и Y есть средняя геометрическая коэффициентов регрессии, имеющая их знак.

Отметим основные свойства коэффициента корреляции (при достаточно большом объеме выборки n), аналогичные свойствам коэффициента корреляции двух случайных величин.

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1; 1], т.е.

                                                  (1.28)

В зависимости от того, насколько  приближается к 1, различают связь слабую, умеренную, заметную, достаточно тесную, тесную и весьма тесную, т.е. чем ближе к 1, тем теснее связь.

2. Если все значения переменных увеличить (уменьшить) на одно и то же число или в одно и то же число раз, то величина коэффициента корреляции не изменится.

3. При r = ± 1 корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость. При этом линии регрессии Y по Х и Х по Y совnадают и все наблюдаемые значения располагаются на общей прямой.

4. При r = 0 линейная корреляционная связь отсутствует. При этом групповые средние переменных совпадают с их общими средними, а линии регрессии Y по X и X по Y параллельны осям координат. Равенство r = 0 говорит лишь об отсутствии линейной корреляционной зависимости (некоррелированности переменных), но не вообще отсутствии корреляционной, а тем более статистической зависимости. Выборочный коэффициент корреляции r является оценкой генерального коэффициента корреляции ρ (о котором речь пойдет дальше), тем более точной, чем больше объем выборки п. И указанные выше свойства, строго говоря, справедливы для ρ. Однако при достаточнобольшом nих можно распространить и на r.