Детализация явного вида функции

 распределения энергии

 

Для удобства выпишем сшиваемые функции в точке х₀.

                                                                   (2.28)

                    (2.29)

где                                           

Из равенства производных в точке сшивания

                                           

получаем

оттуда для больших l₀, когда

                                                        (2.30)

Отсюда

                                                               (2.31)

Подставляя его в выражение φ₁(х₀)= φ₂(х₀) находим (см.2.28 и 2.29):

 (2.32)

Во втором слагаемом справа в (2.32) учтена зависимость (2.30). Сокращая на 2kT и приведя подобные, получаем:

                        

или для

                              (2.33)

Если нарастающая часть барьера достаточно резкая, то значение х₀ в (2.31) не велико по сравнению с а. В этом случае из сравнения (2.31) и (2.33) следует  и окончательно

                                                    

                    (2.34)

(см. 2.27)

Как видно из (2.34) в максимуме, когда

                                                          (2.35)

Ширина нарастающей части барьера и, следовательно, напряженность поля здесь контролируется параметрами распределения ловушек 2l₀. подставляя (2.35) в (2.34) получаем значение функции φ₂ в максимуме:

                            (2.36)

Чем больше 2l_0, тем выше барьер.

Зависимость от начальной концентрации ловушек N_t0 и их энергии активации E_с - E_t определяется величиной . Из (2.36) следует, что с увеличением этих параметров высота барьера также возрастает линейно пропорционально (E_с - E_t) и логарифмически пропорционально N_t0.

Общую ширину ОПЗ можно найти из (2.29) для значительных координат х, когда φ₂(х) =0_. В этом случае после сокращения на 2kT получаем

                                                       (2.37)

Здесь учтено, что по условиям задачи ловушки диффундируют дальше L₁ и уже в максимуме координата  x_max>a. Уравнение (2.32) не позволяет в явном виде получать зависимость L₂(l₀, A), но допускает выявить тенденции этой зависимости с помощью методов, заимствованных из теории чисел.

Представим (2.37) в виде

                                                   (2.38)

Пусть не изменяется тип ловушек (т.е. фиксируется А), но за счет технологических приемов возрастает l₀. В этом случае, поскольку правая часть не изменяется, а знаменатель первого слагаемого увеличивается, значение L₂ должно возрастать, хотя и не пропорционально. Если бы L₂ не изменялось, левая часть (2.38) тоже уменьшалось. Это следует из

Наоборот, пусть l₀ =const, а величина А увеличивается. Тогда левая часть в (2.38) должна возрастать. Поскольку логарифмическая функция y =ln L₂ изменяется медленнее линейной , в целом L₂ увеличивается. С ростом концентрации ловушек на поверхности N_t0 и их энергии активации E_с - E_t ширина ОПЗ увеличивается.

Отметим при этом, что для такого вывода важно одновременное увеличение обоих параметров. Принципиально возможна ситуация когда более глубоких ловушек ( больше) на геометрической поверхности мало (N_t0 меньше). Поскольку величина N_t0 управляется технологически, этой конкуренции можно избежать.