Применение теории поля в некоторых инженерных задачах

Поле векторный инженерный дифференциальный

Вычисление потока вихря векторного поля

 

Задача. Вычислить поток вихря поля векторов A(P)=yi+zj+xk через поверхность параболоида вращения z=2 (1-x²-y²), отсеченную плоскостью z=0.

Решение.

Способ 1.

. Вычислим вихрь векторного поля A(P)=yi+zj+xk по формуле:

 

._x=y      A_y=z     A_z=xA(P)=(0-1) i+(0-1) j+(0-1) k=-i-j-k

 

. Вычислим поток полученного вихря по определению потока.

Данная поверхность (параболоид вращения) проектируется взаимно однозначно на плоскость O_xy в круг D_xy. Находим opm нормали n к поверхности S:

 

.

 

Нормаль n образует острый угол γ с осью O_z, поэтому перед дробью следует взять знак плюс.

Таким образом

 

,

отсюда

 

,

 

и значит

 

.

 

Находим скалярное произведение

 

 

Искомый поток равен

 

.

 

Область интегрирования D_xy есть круг с центром в начале координат радиуса R=1. Вводя полярные координаты ,  будем иметь

 

.

 

Способ 2.

Поток ротора поля векторов A(P)=yi+zj+xk можно вычислить с помощью теоремы Стокса

 

.

.

 

Линия L - есть окружность x²+y²=1, полученная в результате пересечения параболоида вращения z=2 (1-x²-y²) с плоскостью O_xy z=0. Найдем параметрические уравнения этой линии

 

.

 

Следовательно,

 

.