Уравнение непрерывности

 

Задача. вывести основное уравнение движения жидкости - уравнение непрерывности.

Решение.

Пусть  - поле скоростей движущегося потока жидкости. Предположим, что в данной области нет ни источников, ни стоков, то есть жидкость не появляется и не исчезает. Будем считать жидкость сжимаемой, что означает, что её плотность зависит не только от точки, но и от времени. Обозначим плотность через ρ (x, y, z, t). выясним, как связана скорость движения жидкости с изменением её плотности.

Рассмотрим некоторый объем V, ограниченный замкнутой поверхностью σ. Подсчитаем изменение количества жидкости Q, находящейся в объеме V в единицу времени. С одной стороны, количество жидкости, вытекающей из данного объема, равно потоку вектора  через поверхность σ и вычисляется по формуле

 

.

 

С другой стороны, если за единицу времени плотность изменилась на величину , то масса  элементарного объема dV изменится на . А масса всего объема V изменится на . Таким образом, .

Знак «-» берем, считая, что, если жидкость вытекает, то её количество внутри V уменьшается. Приравниваем полученные выражения: .

По формуле Остроградского преобразуем интеграл по поверхности в интеграл по объему.

Имеем .

Поскольку объем был выбран произвольно, то из последней формулы получаем:

Окончательно имеем:

Раскрыв выражение  уравнение можно написать в виде: .

Полученное уравнение называют уравнением непрерывности.

 

Уравнения Максвелла

 

Задача. Вывести уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

Решение.

Для электромагнитного поля Е и Н - векторы электрической и магнитной сил; r - вектор полного тока; D - вектор электрического смещения; В-вектор магнитной индукции.

Два основных закона электродинамики, являющихся обобщением законов Био-Савара и Фарадея, могут быть записаны в виде

 

                                   (1)

                               (2)

 

где с - скорость света в пустоте.

Первое уравнение связывает циркуляцию вектора магнитной силы вдоль контура некоторой поверхности с потоком вектора полного тока через эту поверхность.

Второе уравнение связывает циркуляцию вектора электрической силы с производной по времени от потока магнитной индукции через поверхность. В написанных уравнениях l - произвольный замкнутый контур, S - поверхность им ограниченная. Кроме того, в покоящейся однородной среде векторы D и B связаны с векторами E и H:

 

 

где ε - диэлектрическая постоянная, μ - магнитная проницаемость среды. Вектор полного тока состоит из двух слагаемых - тока проводимости и тока смещения:

 

,

 

где  - коэффициент проводимости среды. Таким образом, окончательно уравнения (1) и (2) принимают вид

 

                             (3)

                                    (4)

 

По теореме Стокса

 

,

 

тогда уравнения примут вид:

.

 

Ввиду произвольности поверхности S, а следовательно и направления нормали n, из последних уравнений вытекает

 

                                   (5)

                                       (6).

 

Уравнения (5) и (6) представляют собою уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

 

 

Заключение

 

В ходе дипломной работы была проанализирована и обобщена литература по основам теории поля. В первой главе дано описание скалярных и векторных полей, введены понятия градиента, дивергенции, циркуляции, потока и ротора. Во второй главе рассмотрены различные виды полей и их свойства. В третьей главе были выведены уравнения Максвелла, являющиеся основными законами электродинамики и уравнение движения жидкости (уравнение непрерывности).

По результатам дипломной работы можно сделать вывод, что с помощью векторного анализа можно описать поведение любого поля, в любой точке пространства пользуясь рядом характеристик, таких как градиент, дивергенция, циркуляция, поток, ротор.

Данную дипломную работу можно использовать как методическое пособие для студентов технических ВУЗов при ознакомлении с теорией поля и при выводе формул прикладной физики. В дальнейшем дипломную работу можно было развить в сторону вывода уравнений, используемых в теоретической физике для описания процессов, происходящих в различных средах. Основными из них являются уравнение теплопроводности, уравнения распространения звука и уравнения гидродинамики идеальной жидкости.

 

 

Список литературы

 

1. Барман П.Н. Сборник задач по курсу математического анализа - М: «Наука», 1964 г.

. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс высшей математики - М: «Наука», 1969 г.

. Вирченко Н.А., Ордынская З.П. Методические указания к теме «Элементы теории поля» - Киев: КПИ, 1983 г.

. Демидович Б.П. Сборник задач по курсу математического анализа - М: Гос. издательство физико-математической литературы, 1962 г.

. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике - М: «Высшая школа», 1983 г.

. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ - М: «Наука», 1978 г.

. Ландау Л.Д., Лифшиц В.М. Теоретическая физика, том 6. Гидродинамика - М: «Наука», 1988 г.

. Селезнева Ф.Г., Бурыкин А.Я. Методические указания по применению теории поля в задачах электротехники - Киев: КПИ, 1989 г.

. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 - М: «Наука», 1974 г.

. Соболев С.Л. Уравнения математической физики - М: «Наука», 1981 г.

. Большой энциклопедический словарь. Математика - М: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1998 г.