Полигон и Гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Определение 1. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки .

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты . Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Определение 2. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки .

Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат относительные частоты . Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

Пример. Дано распределение относительных частот:

	1,5	3,5	5,5	7,5
	0,1	0,2	0,4	0,3

Построим полигон относительных частот (рис. 6).

Рис. 6. Полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длины и находят для каждого частичного интервала – сумму частот вариант, попавших в - ый интервал.

Определение 3. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс, на расстоянии и строят соответствующие прямоугольники.

Площадь - го частичного прямоугольника равна ─ сумме частот вариант - го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки .

Пример 1. Дано распределение частот непрерывного признака.

Таблица 2.

Частичный интервал, длиною	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты
5 – 10	4	0,8
10 – 15	6	1,2
15 – 20	16	3,2
20 – 25	36	7,2
25 – 30	24	4,8
30 – 35	10	2,0
34 – 40	4	0,8

На рисунке 7 изображена гистограмма частот распределения объема , приведенного в таблице 2.

Рис. 7. Гистограмма частот.

Определение 4. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь - го частичного прямоугольника равна ─ относительной частоте вариант, попавших в - й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.

Пример 2. В результате выборки получена следующая таблица распределения частот.

	2	6	12
	3	10	7

Требуется построить полигоны частот и относительных частот распределения.

Для начала построим полигон частот.

Рис. 8. Полигон частот.

Чтобы построить полигон относительных частот найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n.

Таким образом

Получаем

	2	6	12
	0,15	0,50	0,35

Построим полигон относительных частот.

Рис. 9. Полигон относительных частот.

Пример 3. Требуется построить гистограммы частот и относительных частот данного непрерывного распределения (таблица 3).

Таблица 3.

Частичный интервал длины	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты
2 – 5	9	3
5 – 8	10	3,3
8 – 11	25	8,3
11 – 14	6	2

Построим гистограмму частот.

Рис. 10. Гистограмма частот.

Чтобы построить гистограмму относительных частот, нужно найти относительные частоты. Для этого найдем объем выборки .

Теперь найдем относительные частоты по формуле :

Вычислим плотности частот , учитывая, что шаг :

Получаем результат, таблица 4:

Таблица 4

Частичный интервал	Сумма относительных частот	Плотность частоты
2 – 5	0,18	0,06
5 – 8	0,2	0,07
8 – 11	0,5	0,17
11 – 14	0,12	0,04