Полигон и Гистограмма

 

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Определение 1. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки .

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты . Точки  соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Определение 2. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки .  

Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат относительные частоты . Точки   соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

Пример. Дано  распределение относительных частот:

 

	1,5	3,5	5,5	7,5
	0,1	0,2	0,4	0,3

 

Построим полигон относительных частот (рис. 6).

Рис. 6. Полигон относительных частот.

 

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длины  и находят для каждого  частичного интервала  – сумму частот вариант, попавших в  - ый интервал.

Определение 3. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению  (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс, на расстоянии  и строят соответствующие прямоугольники.

Площадь  - го частичного прямоугольника равна  ─ сумме частот вариант - го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки .

Пример 1. Дано распределение частот непрерывного признака.

 

Таблица 2.

Частичный интервал,  длиною	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты
5 – 10	4	0,8
10 – 15	6	1,2
15 – 20	16	3,2
20 – 25	36	7,2
25 – 30	24	4,8
30 – 35	10	2,0
34 – 40	4	0,8

 

На рисунке 7 изображена гистограмма частот распределения объема , приведенного в таблице 2.

Рис. 7. Гистограмма частот.

Определение 4. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению  (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь  - го частичного прямоугольника равна  ─ относительной частоте вариант, попавших в - й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.

Пример 2. В результате выборки получена следующая таблица распределения частот.

 

	2	6	12
	3	10	7

 

Требуется построить полигоны частот и относительных частот распределения.

Для начала построим полигон частот.

Рис. 8. Полигон частот.

 

Чтобы построить полигон относительных частот найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n.

.

Таким образом

.

Получаем

	2	6	12
	0,15	0,50	0,35

 

Построим полигон относительных частот.

Рис. 9. Полигон относительных частот.

Пример 3. Требуется построить гистограммы частот и относительных частот данного непрерывного распределения (таблица 3).

Таблица 3.

Частичный интервал  длины	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты
2 – 5	9	3
5 – 8	10	3,3
8 – 11	25	8,3
11 – 14	6	2

 

Построим гистограмму частот.

Рис. 10. Гистограмма частот.

Чтобы построить гистограмму относительных частот, нужно найти относительные частоты. Для этого найдем объем выборки .

.

Теперь найдем относительные частоты  по формуле :

Вычислим плотности частот , учитывая, что шаг :

Получаем результат, таблица 4:

Таблица 4

Частичный интервал	Сумма относительных частот	Плотность частоты
2 – 5	0,18	0,06
5 – 8	0,2	0,07
8 – 11	0,5	0,17
11 – 14	0,12	0,04

 

Построим гистограмму относительных частот.

Рис.11. Гистограмма относительных частот.