Синтез адаптивных систем методом функций Ляпунова

Второй метод Ляпунова был разработан для исследования устойчивости движения нелинейных систем, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Впоследствии метод стали использовать для оценивания быстродействия системы. Примерно в 70-е годы прошлого столетия метод нашел применение в задачах синтеза адаптивных регуляторов. Термины «функция Ляпунова» и «прямой метод Ляпунова» введены Н.Г. Четаевым в 1946 г.

Рис. 3.11. Структурная схема адаптивной системы управления (пример 3.2)

Рис. 3.12. Процессы в системе с постоянными параметрическими возмущениями и коэффициентом передачи адаптора =50

Рис. 3.13. роцессы в системе с переменными параметрическими возмущениями и коэффициентом передачи адаптора =30

Рассмотрим синтез адаптивных регуляторов методом функций Ляпунова для линейного объекта управления, модель которого имеет вид (3.25)

где х Î Rⁿ – вектор состояния, u Î R^m – вектор управления, n ≥ m; A, B – неизвестные матрицы параметров объекта управления, dim A = n x n, dimB = n x m, , . Коэффициенты матриц А, В заранее не известны. Известно лишь, что значения коэффициентов ограничены, т.е.

     для всех i, j, r, p.

Вектор состояния считается доступным измерению, поэтому y = x, y – вектор выходных переменных.

Желаемая динамика задаётся эталонной моделью вида (3.26)

где х_м Î Rⁿ – вектор состояния эталонной модели, r Î R^m – вектор задающих воздействий. Выбор эталонной модели зависит от требований, предъявляемых к замкнутой системе (времени переходного процесса, перерегулирования, астатизма и т.д.). Эталонная модель должна быть устойчивой, т.е. матрица коэффициентов А_м – гурвицева, поэтому уравнение det (pI – A_м) = 0 имеет все корни с отрицательной вещественной частью, I – единичная матрица соответствующей размерности; В_м – матрица полного ранга.

Цель функционирования системы зададим предельным уравнением (3.27)

где e(t) – ошибка системы.