Методы контурных токов и узловых потенциалов

На ранних этапах развития расчетных методов были созданы косвенные методы снижающие порядок решаемых уравнений Кирхгофа. Характерным для косвенных методов анализа является то, что в уравнениях, описывающих электромагнитное состояние ЭЦ, в качестве переменных подлежащих определению, выступают не искомые токи и напряжения, а некоторые вспомогательные величины, например, узловые потенциалы и контурные токи. Искомые токи и напряжения определяют по найденным узловым потенциалам и контурным токам с использованием законов Кирхгофа и Ома. Рассмотрим более подробно эти методы.

Метод контурных токов

Метод контурных токов (МКТ) является одним из основных косвенных методов расчета ЭЦ, который находит широкое применение на практике. Сущность этого метода заключается в том, что в каждом независимом контуре протекает свой условный, так называемый «контурный» ток. Система уравнений для контурных токов получается как результат сведения законов Кирхгофа к уравнениям только для независимых контуров. Уравнения для контурных токов составляются по известным правилам. Решение этих уравнений и определяет величину контурных токов. Действительный ток ветви находится как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих в этой ветви.

Порядок расчета электрических цепей методом КТ

• Определяем независимые контуры и указываем направления отсчета контурных токов и действительных токов в ветвях.

• Определяем собственные, смежные сопротивления контуров и контурные эдс контуров.

• Составляем уравнения для контурных токов, используя стандартную форму записи этих уравнений. Решаем полученную систему уравнений и определяем контурные токи ЭЦ.

• Действительные токи определяются как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих в этой ветви. При этом, если направление действительного тока совпадает с направлением контурного тока, то контурный ток берется с собственным знаком. В противном случае контурный ток берется с противоположным знаком  

Рассмотрим ЭЦ, представленную на рис и произведем расчет этой ЭЦ методом КТ.

В схеме пять неизвестных токов (i₁,i₂,i₃,i₄,i₅ ), четыре узла (a, b, c, d  ).              

Независимых узлов- три (q-1=3), независимых контуров- два (5-3=2). На рис. в выбранных независимых контурах протекают два неизвестных контурных тока  

I₁₁, I₂₂.                .

Контурный ток   I₃₃     протекает через источник тока J    ,его величина известна и равна току источника тока.  

 

Составляем уравнения для контурных токов, используя стандартную форму

записи этих уравнений

 

.

В этих уравнениях

  R₁₁, R₂₂      - собственные сопротивления контуров

  R₁₂, R₁₃, R₂₁, R₂₃  - смежные сопротивления контуров

 e₁₁, e₂₂ -  контурные ЭДС

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает значение контурных токов

Токи в ветвях определяются через найденные контурные токи

                      

Метод узловых потенциалов

Методом узловых потенциалов называют метод анализа электрических цепей, в которых неизвестными являются потенциалы узлов ЭЦ.

Потенциал одного из узлов называемого базисным принимается равным нулю.

В качестве базисного узла схем обычно выбирают узел, в котором соединяется наибольшее количество элементов или, (при наличии в схеме идеальных источников напряжения) узел, с которым соединяется один из зажимов идеального источника напряжения.

Такой выбор базисного узла позволяет сократить число уравнений в системе, поскольку для узла, к которому подключен второй зажим источника напряжения потенциал оказывается равным ЭДС(со знаком + или -), то есть оказывается известным.

 Система уравнений для узловых потенциалов получается сведением системы уравнений Кирхгофа к уравнениям только для независимых узлов ЭЦ. Таким образом размерность решаемой системы уравнений уменьшается, что и является основным достоинством косвенных методов расчета ЭЦ.

Рассмотрим ЭЦ, представленную на рис. и произведем расчет этой ЭЦ методом УП.

Для изображенной ниже схемы независимых узлов - 3. Следовательно, по МУП составляется 3 уравнения. В качестве базисного примем узел d

                     

 

Система уравнений для узловых потенциалов имеет следующий вид:

                                                                                                                     

В этих уравнениях

  g₁₁, g₂₂, g₃₃             - собственные проводимости узлов

g₁₁= 1/(R₁+R₆)+1/R₂+1/R₃                    -проводимость узла а

g₂₂= 1/R₅+1/R₃                                       -проводимость узла b

g₃₃= 1/R₂+1/R₄                                         -проводимость узла c

смежные проводимости узлов

  g₁₂= 1/R₃                           -проводимость между узлами a и b

  g₁₃= 1/R₂                           -проводимость между узлами a и c 

  g₂₃= 0                               -проводимость между узлами b и c 

J₁₁, J₂₂, J₃₃                       -узловые токи

J₁₁=e/(R₁+R₆)                      -узловой ток узла  a

J₂₂ =J                                                      -узловой ток узла b

J₃₃ =-J                                                    _-узловой ток узла c  

При использовании метода узловых потенциалов предлагается следующая последовательность решения задач.

1. Определение количества независимых узлов и выбор направлений отсчета искомых токов в ветвях.

2. Выбор базисного узла.

3. Составление системы уравнений для узловых потенциалов.

4. Определение собственных и смежных проводимостей узлов и узловых токов ЭЦ.

 5. Решение системы линейных алгебраических уравнений и определение узловых потенциалов.

6. Расчет токов в ветвях ЭЦ с использованием рассчитанных узловых потенциалов и законов Кирхгофа и Ома.

 Токи в ветвях схемы находятся через узловые напряжения по следующему мнемоническому правилу: ток в ветви равен разности узлового потенциала узла из которого он выходит минус узловой потенциал узла в который он входит, плюс э д с источника находящегося в этой ветви, если его стрелка совпадает со стрелкой тока или минус э д с источника, если его стрелка не совпадает со стрелкой тока и деленное на сопротивление ветви.

Например, для заданной ЭЦ ток i₁           равен