Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

1 2 3 4 5 6 7

Задача 51. Вычислить массу шара радиуса 1, если плотность равна квадрату расстояния от центра шара.

Решение. Функция , это равно , так как

. Кроме этого, умножим на определитель Якоби сферических координат, то есть .

Радиус равен 1, так что очевидно, .

, , .

Итак, = =

= = =

= . Ответ. .

Задача 52. Вычислить тройной интеграл с помощью сферических координат:

Решение. Чтобы перейти к новым координатам, рассмотрим, по какому трёхмерному телу ведётся интегрирование. Уравнение линии, которой достигает точка по , имеет вид , что сводится к , то есть это окружность радиуса 1. Таким образом, при движемся вверх по до окружности, то есть основание фигуры это четверть круга. Теперь рассмотрим, до куда точка движется по , в условии указано, что от 0 до . Но уравнение сводится к , т.е. это сфера радиуса 1. Таким образом, область интегрирования это 1/8 шара единичного радиуса в первом октанте, т.е. в той части пространства, где .

Пределы интегрирования таковы: , , .

Пересчитаем подынтегральную функцию, чтобы выразить её через . В данном случае видим корень из суммы квадратов всех координат, поэтому сразу можно заметить, что по теореме Пифагора . Кроме того, умножим на определитель Якоби сферических координат, то есть .

= =

= = = = .

Ответ. .

Задача 53. Вычислить тройной интеграл по 1/8 части шара в 1-м октанте от функции .

Решение. Трёхмерное тело такое же, как в прошлой задаче. Значит, границы те же самые. В функции надо будет выразить всё через по формулам сферических координат.

далее, мы видим, что все множители зависят только от различных переменных, поэтому можно вынести их в соответствующий интеграл и считать не как вложенные действия, а как произведение.

. Здесь в первом интеграле - =

= = Ответ. .

Задача 54. Найти объём тела, ограниченного конусом

и сферой радиуса .

Решение. Чертёж:

Конус пересекается со сферой радиуса на высоте .

Отклоенние угла достигает от 0 до 45 град, чтобы пересечение луча с фигурой существовало. Любой отрезок, проведённый из начала координат (если он упирается в сферу, находится внутри этой фигуры) имеет длину . Итак,

= =

= = =

= .

Ответ. .

Задача 55. Вычислить объём тела, ограниченного цилиндром и двумя плоскостями в цилиндрических координатах.

Решение. На чертеже показано строение фигуры: 2 среза из цилиндра, один с помощью горизонтальной плоскости , другой с помощью наклонной плоскости . Зелёным закрашено основание этой фигуры, а именно, полукруг в правой полуплоскости.

Для того, чтобы точка в плоскости находилась в основании этой фигуры, требуется , . Определим теперь границы последнего из вложенных интегралов, самого внутреннего, который по переменной . Если , от горизонтальной до наклонной плоскости. При этом, нужно выразить в цилиндрических координатах, ведь границы интегрирования внутреннего интеграла должны зависеть от внешних переменных . Поэтому . Функция тождественная 1, чтобы вычислить объём, но при этом не забываем домножить на якобиан цилиндрических координат, то есть на . Итак, получается .