Определённый интеграл

1 2 3 4 5 6 7

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика

Курс практических занятий

Семестр 2

Учебное пособие

Для специальностей

Информатика и вычислительная техника»

Инфокоммуникационные технологии и системы связи»

Радиоэлектронные системы и комплексы»

Томск

ТУСУР

2020

Электронное учебное пособие составлено по материалам практических занятий в группах 589-1,2,3, 129, 1В9 весной 2020 года.

Пособие может представлять методический интерес для преподавателей, работающих на аналогичных специальностях, как материал для планирования занятий.

Оглавление

Определённый интеграл...................................................................................... 5

Приложения определённого интеграла............................................................ 10

Несобственный интеграл................................................................................... 17

Двойной интеграл в декартовых координатах................................................. 25

Двойной интеграл в полярных координатах.................................................... 32

Тройной интеграл в декартовых координатах................................................. 36

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.............. 40

Криволинейные интегралы.............................................................................. 45

Таблица дат занятий и номеров задач.

Нед	1В9	129	589-3
1	04.02 1-11	04.02 1-11 05.02 12 - 19	06.02 1-11 07.02 12 - 19
2	11.02 12 - 19 12.02 20 - 32	11.02 20 - 32	13.02 20 - 32
3	18.02 33 - 43	18.02 33 - 43 19.02 44 - 51	20.02 33 - 43 21.02 44 - 51
4	25.02 44 - 51 26.02 52 - 59	25.02 52 - 59	27.02 52 - 59
5	3.03	3.03 4.03	5.03 6.03
6	10.03 11.03	10.03	12.03
7	17.03	17.03 18.03	19.03 20.03
8	24.03 25.03	24.03	26.03
9	31.03	31.03 1.04	2.04 3.04
10	7.04 8.04	7.04	9.04
11
12
13
14
15
16
17
18

Определённый интеграл

Задача 1. Вычислить интеграл .

При этом осуществляется повторение темы «интегрирование иррациональностей».

Решение. НОК(2,4) = 4, поэтому замена . При такой замене , , . .

= = = = =

= . Ответ. .

Задача 2. Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем замену , тогда .

= = = =

= = = = . Ответ. .

Задача 3. Вычислить интеграл .

Решение. При замене , если то .

= = = =

= = .

Ответ. .

Рассмотрим 2 задачи на примерения интегрирования по частям в определённом интеграле.

Задача 4. Вычислить интеграл .

Решение. Применим метод интегрирования по частям,

Тогда

= = = = .

Ответ. .

Задача 5. Вычислить интеграл .

Решение. Тоже решается интегрированием по частям,

, , тогда , .

= = = = .

Ответ. .

Замечание. Из строения графика видно, что ответ и должен был получиться отрицательным: изначально имеет две одинаковые части площади над и под осью, и его интеграл был бы 0, а если мы умножаем на , то сильнее увеличится по модулю именно та часть, которая дальше от 0, то есть расположенная ниже горизонтальной оси. Вот эти графики, зелёным показан , красным .

Задача 6. Вычислить интеграл .

Решение. = =

используя известное выражение , получим:

= = .

Задача 7. Вычислить интеграл

Решение. Сделаем замену . Тогда , , , , функция монотонна, так что замена корректная. Теперь найдём новые границы: если , то . Тогда = = = = = . Ответ. .

Задача 8. Вычислить интеграл .

При этом осуществляется повторение темы «интегрирование тригонометрических функций».

Решение. Суммарная степень чётна, поэтому применяется замена

, тогда , , .

Пересчитаем границы. , .

Итак, подставим всё это в интеграл.

= = =

= = = = = . Ответ. .

Задача 9. Вычислить интеграл .

При этом осуществляется повторение темы «элементарные преобразования, подведение под знак дифференциала».

Решение. = = =

= =

= . Ответ. .

Задача 10. Вычислить интеграл .

При этом осуществляется повторение темы «рациональные дроби».

Решение. Сначала представим дробь в виде суммы простейших.

. При приведении к общему знаменателю, числитель получится такой:

, что равно ,

система: решим её методом Гаусса.

Здесь от 2-й строки отняли удвоенную 1-ю и от 3-й 1-ю, а затем от 3-й строки 2-ю. Основная матрица системы стала треугольной, и С находится сразу же: . Тогда и тогда . Из 1-го уравнения тогда уже получается .

Значит, исходный интеграл распадается на сумму 3 интегралов: = =

= = .

Ответ. .

Задача 10* на повторение, либо домашняя.

= = = = .

Приложения определённого интеграла.

Задача 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Построим чертёж:

Так как верхняя граница после точки 1 переходит с одной кривой на другую, то придётся разбить на сумму двух вычислений по каждой части отдельно: + . Итак, получим = = = . Ответ. .

Вариант 11-Б. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями . Ответ. .

Задача 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

и .

Решение. Рассмотрим чертёж, найдём точки пересечения графиков и увидим, какую часть плоскости они ограничивают.

График имеет максимум в точке 0 и проходит выше, чем , у которой, напротив, там минимум. Точки перечечения , . Все функции в интеграле чётные, фигура симметрична, можно вычислить площадь правой половины и удвоить: = = = = . Ответ. .

Задача 13. Найти площадь области, ограниченной линиями

Решение.

= = = = .

Чертёж:

Ответ. .

Задача 14. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Решение. Чертёж:

= = +

для раскрытия 1-го слагаемого, вспомним пример из лекйиц на интегрирование по частям, там делали именно этим методом.

Если , , , то:

+ = + =

+ = =

= .

Ответ. .

Задача 15. Найти объём, получающийся при вращении кривой , при условии что .

Решение. = = = = .

Ответ. .

Замечание. Эта задача может быть интерпретирована физическим примером: сколько воды может поместиться в эллиптический параболоид. Ведь если график корня повернуть на 90 градусов, это парабола.

Задача 16. С помощью основной формулы объёмов тел вращения, доказать формулу объёма конуса .

Решение. Для удобства применения основной формулы, повернём конус на 90 градусов, так, чтобы высота лежала на оси .

На чертеже видно, что два катета имеют длины и . Тогда отрезок, вращением которого образована боковая поверхность конуса, находится на прямой .

= = = = = = .

Ответ: формула доказана.

Задача 17. Найти длину 1 витка винтовой линии в пространстве

Решение. В данном случае кривая параметрически задана, в 3-мерном пространстве. Формула .

Производные: .

= =

Ответ. .

Замечание. Если была бы не винтовая линия, а окружность, а это было бы при параметре , то как раз бы и получалось длина окружности.

Задача 18. Найти длину кривой .

Решение. Применяем формулу в плоскости .

Производные: .

= = .

Но здесь важно учесть, что во 2 четверти отрицателен, поэтому при сокращении корня и квадрата надо учесть знак модуля.

. Далее придётся разбить на 2 отрезка, чтобы устранить знак модуля на каждом по-своему:

= =

= = 15.

Ответ. 15.

Замечание. Если бы не учли знак модуля и не разбили на 2 части, тогда получилось бы неверно, ведь эти части бы не складывались, а взаимно уничтожались.

Задача 19. Найти длину кривой, заданной в полярных координатах: , .