Несобственный интеграл

Задача 20. Вычислить несобственный интеграл 1 рода .

Решение. = = = = = = .

Для краткости в будущем можно не использовать знак lim а просто записывать так: подразумевая при этом, что промежуточным действием был вычислен данный предел.

Ответ. .

Задача 21. Вычислить несобственный интеграл 1 рода .

Решение. На этом примере мы ещё раз вспомним метод интегрирования по частям.

= . Интегрируем по частям.

Обозначим . Тогда .

Тогда далее = = =

= 1.

Ответ. 1.

Задача 22. Вычислить несобственный интеграл 1 рода .

Решение. = = =

= . Здесь символом фактически обозначается такой предел: .

Ответ. .

Задача 23. Вычислить несобственный интеграл 1 рода .

Решение. Кстати, на этом примере мы ещё раз повторим алгоритм выделения полного квадрата. = = = = = .

Ответ. .

Задача 24. Вычислить несобственный интеграл 1 рода .

Решение. = =

сделаем замену , далее = = = = = . Ответ. .

Задача 25. Вычислить интеграл или доказать его расходимость.

Решение. Способ 1. = = =

= , интеграл расходится, т.к. первообразная здесь неограниченная функция.

Способ 2. Можем действовать с помощью признаков сравнения, не вычисляя первообразную. В числителе степень 3, в знаменателе 4. Тогда в качестве эталонной функции, с которой надо сравнить, нужно взять такую: . Докажем, что с ней можно сравнивать функцию в этом интеграле, то есть вычислим предел их отношения и получим, что он равен числу, а не 0 или . = = 1.

Это эквивалентные величины, и сходимость исходного интеграла эквивалентна сходимости интеграла . А этот интеграл расходится, так как степень равна 1 (см. теорию).

Ответ. Расходится.

Задача 26. Выяснить сходимость несобственного интеграла по признакам сравнения: , не вычисляя его.

Решение. Так как , то заменив функцию на , получим причём, по признаку сравнения в не-предельной форме, если второй интеграл сходится (обозначим его (II)), то и исходный тоже сходится. А теперь заменим на ещё более простую функцию, но уже по признаку сравнения в предельной форме.

Бесконечно малая величина при эквивалентна .

Докажем это: = = =1.

Поэтому сходимость интеграла эквивалентна сходимости интеграла . Обозначим его (III). А про этот интеграл уже известно, что он сходится, ведь здесь классический случай, рассмотренный в лекциях, а именно где степень . Итак, (III) сходится, что эквивалентно тому, что (II) сходится, а

(II) > (I), поэтому исходный интеграл (I) тоже сходится.

Ответ. Сходится.

Задача 27. Выяснить сходимость несобственного интеграла по признакам сравнения не вычисляя его.

Решение. Аналогично прошлой задаче, сначала заменим на выражение без синуса с помощью неравенства, а потом перейдём к ещё более простому интегралу по предельному признаку.

, а этот интеграл равен

, , сходится. Сходимость 2-го и 3-го эквивалентна, поэтому 2-й интеграл тоже сходится. А из сходимости 2-го следует сходимость 1-го.

Ответ. Сходится.

Задача 28. Выяснить сходимость несобственного интеграла 2-го рода по признакам сравнения .

Решение. = .

Особенность в 0 только у первого корня, второй там не даёт 0 в знаменателе. Заменим на эквивалентную, в качестве которой возьмём функцию только с тем множителем, который стремится к 0 в знаменателе при . . Докажем, что они эквивалентны:

= .

Значит, сходится сходится.

= , , что для интеграла 2 рода влечёт сходимость.

Либо можно рассмотреть = = .

Ответ. Сходится.

Задача 29. Выяснить сходимость несобственного интеграла 2-го рода по признакам сравнения .

Решение. Заметим, что в знаменателе и , который в свою очередь эквивалентен (по 1 замечательному пределу). Поэтому можно взять . Обоснуем это с помощью предела:

= = 1.

Тогда остаётся выяснить сходимость интеграла . Он расходится, степень 2 > 1 что для интеграла 2-го рода влечёт расходимость.

Поэтому и исходный интеграл тоже расходится.

Ответ. Расходится.

Задача 30. Выяснить сходимость несобственного интеграла по признакам сравнения .

Решение. Это комбинированный пример на интеграл 1 и 2 рода.

Надо разбить на 2 части и исследовать отдельно окрестность 0 и оставшуюся часть полуоси.

= + . Если оба числа конечны, то их сумма тоже конечна. То есть, для сходимости надо, чтобы оба этих интеграла сходились, один интеграл 1-го рода а другой 2-го рода.