2020-04-07
110
Задача 42. Вычислить интеграл 
по полукругу радиуса 1 в правой полуплоскости.
Решение.
Алгоритм: 1) определить границы интегрирования по 
.
2) пересчитать 
в функции через 
, используя 
, 
.
3) домножить на определитель Якоби, который равен 
.
Так как полукруг именно в правой полуплосости, то учитываются 4-я и 1-я четверти, то есть угол от -90 до 90 градусов.
= 
=
= 
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Для сравнения, покажем, что можно было вычислить и в декартовых координатах, т.е. полярные использовать не обязательно, однако удобнее.
= 
= 
= 
= 
= 
= 
.
Задача 43. Вычислить 
, где D - четверть круга радиуса 2 (в первой координатной четверти).
Решение. Заменим 
, 
, а также умножим на якобиан 
.
= 
=
= 
=
= 
= 
= 
. Ответ. .
Задача 44. Вычислить 
, где D - четверть круга радиуса 1 (в первой координатной четверти).
Решение.
= 
=
= 
Дальше остаётся интеграл от одной переменной, там можно применять обычный способ, подведение под знак дифференциала.
= 
= 
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Площадь поверхности (с помощью двойного интеграла).
Задача 45. Найти площадь поверхности 
.
Физический смысл задачи: сколько металла потребуется на изготовление параболической антенны.
Решение. Найдём интеграл 
где D окружность радиуса 1. Здесь 
, 
.
, перейдём к полярным координатам.
= 
=
= 
=
= 
= 
=
= 
.
Ответ. .
Задача 46. Записать в полярных координатах двойной интеграл по треугольнику с вершинами (0,0), (1,0), (1,1).
Решение.
В декартовых координатах интеграл был бы в виде: 
.
Границы изменения угла от 0 до 45 градусов. Определим верхнюю границу роста радиуса в зависимости от угла поворота. Для этого нужно задать линию 
в полярных координатах. Подставим выражение x через полярные координаты в уравнение этой линии, получим 
, тогда 
.
Ответ. 
.
Как видим, полярные координаты можно применять далеко не только в случае круговых областей, однако большого преимущества здесь это уже не даёт, пределы внутреннего интеграла здесь тоже зависят от внешнего.
