2020-04-07
185
Задача 33. Вычислить двойной интеграл 
, где D прямоугольник, 
.
Решение. Есть эквивалентные формы записи в таком случае: 
= 
. Итак, сначала во внутреннем цикле найдём первообразную по переменной 
: 
= 
= 
= 1.
Ответ. 1.
Задача 34. Вычислить интеграл , где 
область, ограниченная линиями 
, 
, 
.
Решение. В отличие от прошлой задачи, здесь верхняя граница - парабола. При каждом 
точка движется по вертикали от высоты 0 до высоты 
.
Поэтому во вложенном цикле зависимость границ от внешней переменной 
.
Вычисление: 
= 
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Задача 35. Вычислить 
, D - треугольник с вершинами (0,0), (1,0), (1,1).
Решение. Границы фигуры по переменной это 
, при других значениях нет точек этого треугольника вообще. При каждом , вертикальный отрезок имеет разную высоту, сначала вообще 0, а затем чем правее, тем больше. Чем больше , тем выше отрезок по . Вертикальные отрезки внутри треугольника от высоты 0 доходят до линии 
. Поэтому при каждом 
, верно 
.
Интеграл будет записан в виде: 
.
Граница во внутреннем интеграле зависит от внешней переменной .
Границы внешнего интеграла обязательно должны быть контантами.
Во вложенной скобке, вычислится первообразная по , и будет применена формула Ньютона-Лейбница по .
= 
= 
= 
.
И хотя границы зависят от , они подставлены в переменную , т.е. всё равно получилась функция от , так же, как если был бы прямоуголник и границы были бы числовыми. Далее, уже обычным путём вычислим интеграл по .Итак, = 
= 
.
Задача 36. Вычислить двойной интеграл 
, где D квадрат, 
.
Решение. У нас есть 2 варианта: сделать внешний цикл по , а внутренний по , то есть 
, либо наоборот, 
. Несмотря на то, что область квадрат, и казалось бы, всё равно, каков порядок интегрирования, но если сделать внутренний цикл по то в обоих множителях есть переменная интегрирования, то есть мы сразу столкнёмся с интегрированием по частям, а вот если внутренний цикл по , то только в одном множителе есть переменная, по которой интегрируем. Более того, служит коэффициентом при в степени экспоненты, то есть надо будет разделить на , и он сократится, останется вообще одна экспонента! Этот путь более рациональный и предпочтительно здесь сделать именно так.
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
.
Замечание. А если 
то наоборот, надо сделать внутренний цикл по , а внешний по 
.
Ответ. .
Задача 37. Вычислить интеграл 
по треугольнику D, вершины которого: (0,0),(1,0),(0,1).
Решение. Строение треугольника понятно (см. чертёж).
Наклонная линия задаётся уравнением 
.
Вычисление: 
= 
=
= 
= 
=
= 
.
Ответ. 
.
Задача 38. Вычислить интеграл 
по треугольнику D, вершины которого: (0,0),(1,1),(1,2).
Решение. Итак, по чертежу видно, что 
, а в свою очередь при каждой фиксированной абсциссе, 
.
= 
= 
=
= 
= 
= 2.
Ответ. 2.
Задача 38-Б. Вычислить интеграл 
по треугольнику D, вершины которого: (0,0),(1,0),(1,2).
В этом варианте 
и ответ 
.
Задача 39. Изменить порядок интегрирования: 
.
Решение. Сделаем чертёж, также выразим в каждом уравнении через обратную функцию.
Уравнение 
с помощью обратной функции будет задано в виде 
, а 
соответственно 
.
Нижняя граница здесь становится правой, а верхняя граница исполняет роль левой. Ведь если мы проводим вертикальные отрезки внутри фигуры, они начинаются от квадратичной параболы, то есть при движении снизу вверх точка начинает двигаться от этой линии. А по горизонтальным, наоборот, точка при движении слева направо движется до этой линии, а не от неё (см. красные линии). Тогда после смены порядка, интеграл будет в виде: 
.
Ответ. .
Задача 40. Сменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
.
Решение. Построим чертёж.
Видно, что здесь верхняя граница переходит с одной кривой на другую, поэтому от 0 до 1 и от 1 до 2 пришлось разбить на 2 разных слагаемых, если внешняя переменная 
. А если внешняя переменная будет 
, то надо будет найти левую и правую границы горизонтальных отрезков. А они не переходят на другую кривую: левая всегда на параболе, а правая граница на линии 
. Если записать через обратные функции, то вместо будет , а вместо 
соответственно, 
. Тогда вся область будет учтена сразу, то есть два слагаемых свернутся в одно: 
. Ответ. 
.
Задача 41. Изменить порядок интегрирования: 
.
Решение. Построим чертёж.
Перепишем через обратные функции. Уравнение 
записывается в виде 
, а 
в виде 
.
Тогда получим такой ответ. Ответ. 
.
Замечание. Перед корнем квадратным именно минус, потому что 
, то есть именно отрицательная ветвь корня. Если по ошибке не заметить этого и взять 
, то получится продление до правой ветви, и совсем другая область, а именно:
