2020-04-07
125
Задача 56. Найти работу векторного поля 
по перемещению точки по винтовой линии (спирали), заданной уравнениями 
, 
.
Решение. Требуется вычислить такой интеграл:
или его краткий вид: 
.
Производные: 
.
Тогда
=
Заметим, что 
присутствует со знаками + и –, сокращается.
= 
, в первом из них применим интегрирование по частям: 
.
=
= 
= 
.
Ответ. .
Вариант этой задачи для 
(домашнее задание).
= 
= 
= 
.
Задача 57. Найти работу векторного поля 
по перемещению точки по участку параболы 
, где 
.
Решение. Здесь используем формулу для явно заданной кривой:
.
Все 
, которые встречаются в записи компонент векторного поля, надо выразить в виде 
. Очевидно также, что 
. Итак:
= 
= 
=
= 
. Ответ. .
Примечание. Можно от явно заданной перейти к параметрически заданной кривой: 
и сделать по формуле:
.
Задача 58. Найти работу векторного поля 
по перемещению точки по половине эллипса, заданного параметрически:
, 
.
Решение. Здесь используем формулу для параметрически заданной кривой: 
.
При этом учитываем, что 
. При этом все 
и 
, которые встречаются в записи компонент векторного поля, надо выразить в виде 
.
=
=
= 
= 
= 
=
. Ответ. 
.
В следующих задачах кривые будут замкнутые, и в них будем применять формулу Грина, доказанную на лекции: 
.
Наиболее удобно её применение именно в тех случаях, когда граница состоит из нескольких частей, ведь работу векторного поля надо было бы отдельно вычислять по каждой части (у которой своё уравнение в плоскости), а двойной интеграл сразу по единой плоской области.
Задача 59. Найти циркуляцию векторного поля 
по перемещению точки по границе верхнего полукруга радиуса 1 двумя методами: А). без формулы Грина. Б). по формуле Грина.
Решение.
Решение А). без формулы Грина. В этом случае нужно для каждого участка - отрезка 
и полуокружности 
- вычислить работу поля отдельно. Чтобы обход всего контура осуществлялся один раз и против часовой стрелки, надо, чтобы движение по отрезку было слева направо 
(при этом 
, и 
), а по полуокружности справа налево, т.е. на ней использовать обычный метод параметрического задания точек: 
.
По 
: 
= 0.
По 
: 
=
, во втором интеграле очевидно, подведение под знак дифференциала, а в первом есть несколько путей решения:
1) с помощью замены, учитывая то, что суммарная степень чётна (изучали во 2 семестре).
2) применить формулу понижения степени к каждому из квадратов.
3) использовать то, что 
и формулу 
.
Наиболее оптимальным наверное, здесь будет 3-й путь.
= 
= 
= 
=
= 
= 
= 
.
Решение Б). По формуле Грина.
Если 
то 
.
Двойной интеграл по полукругу вычисляется с помощью полярных координат, это стандартная задача, которые решали во 2 семестре. Так как полукруг в верхней полуплоскости, то 
, а радиус 1, 
.
= 
= 
=
= 
= 
= 
= 
.
Ответ. 
.
