Теоретическое введение

Вектор магнитной индукции  определяется как отношение максимального вращающего момента силы, действующего на рамку с током, к ее магнитному моменту:

 

,

где , вектор нормали к плоскости рамки, связанный с направлением тока в контуре правилом правого винта.

По направлению вектор  совпадает с вектором магнитного момента рамки, когда та находится в данной точке поля в положении устойчивого равновесия (М = 0).

Рассчитать значение магнитной индукции можно, используя принцип суперпозиции . Поле, создаваемое элементом  проводника с током  в произвольной точке А (см. рис. 6.1), определяется с помощью закона Био-Савара-Лапласа:

 

,

 

где Гн/м – магнитная постоянная в системе СИ.

На элемент тока  в магнитном поле действует сила Ампера:

 

.

Сила, действующая на проводник с током конечной длины, помещенный в магнитное поле, определяется по принципу суперпозиции:

 

.

Для случая однородного магнитного поля сила равна

.

Вращающий момент сил, действующий на контур с током в однородном магнитном поле:

.

При перемещении проводника или контура с током в магнитном поле сила Ампера совершают работу:

,

где пересеченный (заметенный) поток в случае перемещения проводника или изменение магнитного потока сквозь поверхность ограниченную контуром, в случае его перемещения в магнитном поле.

Магнитный поток при этом равен          .

На движущийся заряд в магнитном поле действует сила Лоренца:

 

.

 

При одновременном действии на заряженную частицу электрического и магнитного поле под силой Лоренца понимают результирующую силу:

 

.

 

Сила Лоренца в любой момент перпендикулярна скорости, а значит, может изменить только направление скорости, но не ее величину.

Если скорость частицы направлена перпендикулярно линиям магнитной индукции однородного поля, траекторией будет окружность, радиус которой зависит от скорости и удельного заряда частицы. В зависимости от знака заряда, частица будет двигаться по часовой или против часовой стрелки (см. рис. 8.1).

Явление электромагнитной индукции, открытое Фарадеем, состоит в возникновении электрического тока в контуре (отклонение стрелки гальванометра) при изменении магнитного потока (см. рисунок 9.1).

Количественное соотношение, полученное Фарадеем, имеет вид

,

где пересеченный магнитный поток ,

       R – сопротивление контура,

       q – заряд, прошедший по контуру.

Наличие второй катушки вместо контура усиливает эффект. Суммарный магнитный поток

,

 

где N – число витков катушки, потокосцепление.

Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея-Максвелла):

 

.

 

Знак «–» выражает правило Ленца:

Магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром, стремится сохраниться постоянным. Индукционный ток всегда направлен так, чтобы возникающее собственное магнитное поле компенсировало изменение внешнего.

Собственный магнитный поток через контур пропорционален току в контуре.

 

.

 

Коэффициент пропорциональности между магнитным потоком и током называется индуктивностью контура.

Индуктивность определяется формой и геометрическими размерами контура, а также характеристиками среды и не зависит от тока в контуре в отсутствии ферромагнетиков.

По аналогии, индуктивностью соленоида (катушки) будем называть коэффициент пропорциональности между потокосцеплением и током в соленоиде.

 

.

 

Явление самоиндукции состоит в возникновении ЭДС при изменении собственного магнитного потока:

 

 

Если индуктивность не изменяется,

 

.

 

Знак возникающей ЭДС подчиняется правилу Ленца.

Явление взаимной индукции заключается в возникновении ЭДС индукции во всех проводниках, находящихся вблизи цепи переменного тока:

 

,

 

где М – взаимная индуктивность контуров.

Магнитное поле обладает энергией. Собственная энергия магнитного поля тока I протекающего в контуре с индуктивностью L:

.

Для случая однородного поля энергия, локализованная в объеме V, связана с магнитной индукцией:

.

 

Объемная плотность энергии равна         ,   .

Если магнитное поле неоднородно, то    .

 

1. По плоскому круговому витку радиусом R идет ток I. Используя закон Био-Савара-Лапласа , найдите направление и модуль магнитной индукции в центре витка.

 

2. По медному длинному цилиндрическому проводнику радиусом R = 1 мм течет ток с постоянной плотностью j = 10⁶ А/м². Определите величину и направление магнитной индукции в точке, лежащей на расстоянии  см от поверхности провода

 

3. По полукольцу радиусом R течет ток I. Используя закон Био-Савара-Лапласа , определите модуль и направление вектора магнитной индукции в центре полукольца. Поле подводящих проводов не рассматривать.

 

4. Два длинных тонких прямых провода расположены параллельно друг другу на расстоянии b = 50 см. По проводам идут токи  и  одного направления. Определите величину и направление магнитной индукции в точке, лежащей между проводами в одной плоскости с ними на расстоянии  см от первого провода.

Примечание: Магнитная индукция поля длинного проводника обратно пропорциональна расстоянию до проводника .

 

 

5. Индукция поля внутри длинного соленоида определяется соотношением . Чему равна сила тока соленоида, если магнитная индукция вблизи его основания Тл, длина соленоида см, диаметр , число витков .

 

6. Проводник с током А помещен в однородное магнитное поле с индукцией  Тл. Угол между направлением тока и вектором магнитной индукции . Определите направление и модуль силы Ампера, действующей на единицу длины проводника.

 

7. Индукция магнитного поля внутри длинного соленоида определяется соотношением . Вдоль оси соленоида расположен длинный проводник с током  А. Определите направление и модуль силы Ампера, действующей на участок проводника длиной  см, если ток соленоида  А, плотность намотки см^-1.

 

8. Два длинных тонких прямых провода расположены параллельно друг другу на расстоянии b = 50 см. По проводам идут токи  и  одного направления.

Магнитная индукция поля длинного проводника обратно пропорциональна расстоянию до проводника . Определите направление и модуль силы взаимодействия проводников, приходящейся на единицу их длины.

 

9. Длинный коаксиальный кабель, состоящий из медной жилы, радиус которой R ₁ = 0,5 мм, и тонкой медной оболочки радиусом R ₂ = 2,5 мм, образует двухпроводную систему. Найдите силу тока в кабеле, если максимальное значение магнитной индукции B = 40 мкТл?

Примечание: Магнитная индукция поля снаружи длинного цилиндрического проводника обратно пропорциональна расстоянию до оси проводника .

 

10. Плоская квадратная рамка со стороной a = 10 см обтекается током I = 2,0 А. Рамка помещена в однородное магнитное поле (B = 0,020 Тл), линии индукции которого образуют угол β = 90° с плоскостью рамки.

1. Рассчитайте магнитный момент рамки.

2. Определите силы, действующие на каждую из сторон рамки.

 

 

11.

Плоская квадратная рамка со стороной a = 10 см содержит N = 5 витков и обтекается током I = 2,0 А. Рамка помещена в однородное магнитное поле, как показано на рисунке. Линии индукции образуют угол β = 60° с плоскостью рамки. B = 0,020 Тл.

1. Рассчитайте магнитный момент рамки.

2. Определите силы, действующие на каждую из сторон рамки.

3. Рассчитайте действующий на рамку вращающий момент.

 

12. Короткая катушка содержит витков тонкого провода. Площадь каждого витка м².

Найдите магнитный момент катушки при силе тока А.

 

13. Согласно теории Бора электрон в невозбужденном состоянии движется вокруг ядра по окружности радиусом м со скоростью м/с.

1. Вычислите магнитный момент эквивалентного кругового тока.

2. Определите момент силы, действующий на круговой ток, если атом помещен в однородное магнитное поле ( Тл), линии индукции которого параллельны плоскости орбиты.

 

14. Контур с током, магнитный момент которого p _m = 2,0·10^–3 А·м², помещен в середину соленоида. Радиус соленоида R = 2,0 см, длина соленоида ℓ = 80,0 см, число витков N = 2500. Какой ток идет в обмотке соленоида, если наибольший вращающий момент, действующий на контур, M = 2,0·10 ^{– 6} Н·м? Считать, что R >> r, где r – радиус рамки. Индукция поля внутри длинного соленоида определяется соотношением .

 

15. Тонкий провод с током I, согнутый в виде полукольца радиусом R, находится в однородном магнитном поле с индукцией В.

Найдите силу, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна вектору магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля.

 

16. Квадратная рамка со стороной a = 20 см помещена в однородное магнитное поле с индукцией B = 40 мТл. Найдите магнитный поток, пронизывающий рамку, если нормаль к плоскости рамки составляет угол α =60° с направлением вектора магнитной индукции.

 

17. Плоская квадратная рамка со стороной a = 10 см обтекается током I = 2,0 А. Рамка помещена в однородное магнитное поле (B = 0,020 Тл), линии индукции которого образуют угол β = 90° с плоскостью рамки. Рассчитайте работу сил поля по медленному повороту рамки из положения устойчивого равновесия вокруг одной из сторон на угол:

1. j = 30°.

2. j = 90°.

3. j = 180°.

 

18. Ядро атома гелия (α-частица) движется свободно со скоростью u = 3,5·10⁶ м/с. В некоторый момент времени в окрестности частицы создается перпендикулярное к ее скорости однородное магнитное поле с индукцией B = 1,0 Тл. Масса a-частицы m _a = 6,7 · 10^–27 кг.

Найдите радиус траектории частицы.

 

19. Заряженная частица, двигаясь в магнитном поле по дуге окружности радиусом см, прошла через свинцовую пластину, расположенную на ее пути. Вследствие потери энергии радиус кривизны ее траектории изменился и стал равным см.

Определите относительное изменение энергии частицы.

 

20. Силовые линии однородных электрического и магнитного полей направлены взаимно перпендикулярно. Напряженность электрического поля E = 30 В/см. Магнитная индукция B = 0,010 Тл. Каковы должны быть направление и модуль вектора скорости электрона, попавшего в эти поля, чтобы движение его оставалось прямолинейным и равномерным (скорость дрейфа)?

 

21. В однородном вертикальном магнитном поле расположен горизонтальный круговой виток медного провода. Диаметр витка d, площадь поперечного сечения провода S, удельное сопротивление меди r. Магнитная индукция поля В.

Какой заряд пройдет по витку при повороте его вокруг диаметра на угол 180°?

 

22. В однородном магнитном поле, индукция которого B = 0,020 Тл, находится плоская прямоугольная рамка, со сторонами a = 10 см,  b = 20 см. Рамка вращается вокруг оси, перпендикулярной линиям индукции и совпадающей с одной из длинных сторон рамки, с угловой скоростью w = 314 рад/с (см. рис.). Обмотка рамки состоит из N = 5 витков.

Найдите максимальное значение ЭДС индукции, возникающей в рамке.

 

23. Обмотка длинного соленоида диаметром d содержит n витков на единицу длины. На соленоид, в среднем его сечении, плотно надето медное кольцо сопротивлением R. Ток в соленоиде в течение некоторого времени: а) возрастает по закону I = I ₀ + kt; б) убывает по закону I = I ₀ехр(– kt ²), где I ₀ и k – известные константы;

Найдите закон изменения индуцированного в кольце тока. Индукция магнитного поля внутри длинного соленоида определяется соотношением .

 

 

24. Прямой соленоид длиной ℓ и диаметром d содержит n витков на единицу длины.

Выведите формулу для расчета его индуктивности, считая ℓ >> d. Индукция магнитного поля внутри длинного соленоида определяется соотношением .

 

25. Соленоид, однослойная обмотка которого состоит из N = 1000 витков, обладает индуктивностью L = 5,0 мГн. Чему равны магнитный поток и потокосцепление, создаваемые соленоидом при токе I = 0,60 А?