Уравнение динамики вращательного движения Момент импульса

Закон сохранения момента импульса

§ 1. Уравнение динамики вращательного движения

Как отмечено в лекции № 7, § 5, для решения основной задачи механики вращательного движения тела с закрепленной осью необходимо знать зависи- мость углового ускорения от времени. Эта зависимость находится из уравне- ния динамики вращательного движения, которое аналогично второму закону Ньютона (4.4) в динамике материальной точки. Как мы выяснили в § 1, 2 пре- дыдущей лекции мерой внешнего воздействия при вращательном движении,

аналогом силы F, является момент силы Mz

относительно оси вращения Z;

аналогом массы, мерой инертности при вращательном движении, является мо-

мент инерции Iz

относительно оси Z. Роль ускорения играет угловое ускоре-

ние. По аналогии со вторым законом Ньютона можно сконструировать из

Mz,

Iz , уравнение динамики вращательного движения:



Mz Izε.

Так как мы рассматриваем вращение вокруг закрепленной оси z, то урав- нение динамики вращательного движения записано, в отличие от второго зако- на Ньютона, не в векторном виде, а в скалярном. Можно строго доказать, что из второго закона Ньютона следует уравнение динамики вращательного движе- ния, т.е. стрелочка, связывающая две предыдущие формулы обозначает слово

«следует».

Мы получим уравнение динамики вращательного движения, опираясь на теорему о кинетической энергии. Из (5.7) и (5.8) имеем:

dA dW К.

Работу dA и приращение кинетической энергии

dWк

выразим, в соот-

ветствии с формулами (8.1) и (8.6), через величины, характеризующие враща- тельное движение:

Mz d d I.

Заменяя, в соответствии с (7.1а), d

вание в правой части, получим:

dt и выполняя дифференциро-

Откуда

Mz dt

Iz d

z dt

. (9.1)

Наконец, используя определение углового ускорения (7.2), получим ос- новное уравнение динамики вращательного движения:

Mz=Izε

. (9.2)

Отметим, что формула (9.1) так же как и (9.2), является выражением урав- нения динамики вращательного движения твердого тела относительно закреп- ленной оси.

§ 2. Момент импульса

Запишем основной закон динамики вращательного движения в форме

(9.1), а затем занесем момент инерции Iz

под знак производной по времени:

или

M z Iz dt

d (Iz

Mz dt

)

. (9.3)

Формула (9.3) эквивалентна формуле (9.1) при постоянном моменте инер- ции. Более общей является формула (9.3), она справедлива и в том случае, если момент инерции тела изменяется с течением времени. Эта ситуация аналогична соотношению между двумя формами записи основного закона динамики мате- риальной точки – второго закона Ньютона – в виде (4.3а) и (4.4).

Введем понятие момента импульса

L_z абсолютно твердого тела относи-

тельно оси вращения Z следующим определением:

. (9.4)

Можно показать, что для однородного симметричного тела, вращающегося вокруг оси симметрии, справедлива векторная формула:

. (9.5)

Формула (9.5) утверждает, что вектор момента импульса L направлен так же, как и вектор угловой скорости .

Для несимметричных тел это утверждение справедливо, если они вращают- ся вокруг одной из главных осей инерции.

С учетом (9.4) формулу (9.3) можно записать в следующем виде:

M = dLz

. (9.6)

Это еще одна форма уравнения динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси.

Понятие момента импульса используется не только для описания враще- ния твердых тел, но и для более общего случая движения произвольной систе-

мы материальных точек. В этом случае моментом импульса L системы ма-

териальных точек называется векторная сумма риальных точек, входящих в систему:

Li моментов импульса мате-

 N 

L= Li. (9.7)

i=1

Момент импульса материальной точки относительно произвольной точки О пространства определяется как векторное произведение радиус-

вектора ri



материальной точки, проведенного из точки О, на вектор импульса

pi этой материальной точки (см. рис. 9.1), т.е.:

L  

 

. (9.8)

i ri pi i mi vi

На рис 9.1. материальная точка массы m движется по окружности радиуса r. Начало координат выбрано в центре этой окружности, поэтому радиус-

L вектор r материальной точки начинается в цен- тре окружности, по которой движется точка.

r  В этом случае векторное произведение r p

m v L

и, следовательно, момент импульса направле-

Рис. 9.1

ны перпендикулярно плоскости окружности, по которой движется точка.

Опираясь на второй закон Ньютона в форме (4.3), можно показать, что закон изменения со временем момента импульса L системы имеет следующий вид:

, (9.9)

здесь M – суммарный момент внешних сил.

При сделанных выше оговорках относительно осей вращения, закон изме- нения момента импульса (9.9) применим и для описания вращения твердых тел.

§ 3. Закон сохранения момента импульса

По (9.9) производная от момента импульса по времени равна суммарному моменту внешних сил:

dL 

Если суммарный момент внешних сил M = 0, то:

следовательно,

dL 0,

L const.

Мы получили закон сохранения момента импульса, который формулиру- ется так: момент импульса системы материальных точек остается постоян- ным, если суммарный момент внешних сил равен нулю.

Закон сохранения момента импульса можно применить к вращающемуся телу.

Так как L

const,

то величина

Iz будет иметь одинаковые значения

для любых интересующих нас моментов времени, т.е.:

Iz Iz

или

Iz1 1

Iz2 2.

Вращающееся тело может изменить свой момент инерции, изменится и его угловая скорость, но при равенстве нулю суммарного момента внешних сил ве-

личина

Iz останется постоянной.

Пример – фигурист в «волчке», схематически изображенный на рис. 9.1, иллюстрирует применение закона сохранения момента импульса.

Фигурист, раскинув руки в стороны, отталкивается ногой ото льда и начи- нает вращаться с угловой скоростью ₁. При этом его момент инерции I₁ за счет отведенной в сторону ноги и раскинутых рук велик. Затем фигурист при- жимает к туловищу руки и сводит вместе ноги, уменьшая их расстояние до оси вращения. Поэтому его момент инерции I₂ становится заметно меньше, чем I₁. Так как трение об лед невелико, то можно считать, что момент импульса I ос-

тается постоянным, поэтому угловая скорость фигуриста ₂ становится замет- но больше, чем

Аналогичные приемы используют балерины, выполняя фуэте, акробаты и гимнасты, делая сальто. Во всех этих случаях работает закон сохранения мо- мента импульса.

Iz1

z2 ,

откуда

Рис. 9.2

§ 4. Гироскопы

Гироскопом называется быстро вращающееся массивное симметричное тело, ось вращения которого (его ось симметрии) может изменять свое на- правление в пространстве.

Рис. 9.3 ⁷⁶

У гироскопов, применяемых в технике, свободный поворот оси ги- роскопа обеспечивают, закрепляя ги- роскопы в рамках (кольцах) кардано- ва подвеса (рис. 9.3).

Такой гироскоп имеет три степе- ни свободы: он может совершать не- зависимые повороты вокруг трех осей, пересекающихся в центре под- веса О.

Если центр тяжести гироскопа совпадает с центром подвеса О, то момент сил тяжести, действующих на гироскоп, будет равен нулю.

Трение в подшипниках всех трех осей стараются сделать как можно мень- ше, таким, чтобы моментом сил трения можно было пренебречь. С учетом это-

го, момент внешних сил M относительно центра гироскопа можно считать равным нулю. Как было показано в § 3 на основе формулы (9.9), при этом усло-

вии момент импульса гироскопа L не изменяется с течением времени. Для симметричного тела, вращающегося вокруг оси симметрии, момент импульса, в

соответствии с (9.5), равен:

L I .

Таким образом, направление вектора угловой скорости гироскопа оста- ется неизменным с течением времени.

Это значит, что ось гироскопа сохраняет свое направление в мировом про- странстве неизменным. Если эта ось при раскрутке гироскопа была направлена на какую-нибудь звезду, то при любых перемещениях гироскопа она будет про- должать указывать на эту звезду.

Удивительным, с точки зрения житейского здравого смысла, является по- ведение гироскопа при действии на него момента внешних сил.

Пусть, как это изображено на рис. 9.4, ось гироскопа закреплена в точке О.

Сила тяжести F  казалось бы, должна поворачивать гироскоп вниз, во-

круг оси y. Опыт же показывает, что гироскоп будет двигаться не по направле-

нию силы

mg, а перпендикулярно ей! Он будет вращаться относительно оси z

в сторону оси y.

Этот результат согласуется с предсказанием закона изменения момента импульса (9.9):

dL 

В самом деле, момент силы тяжести относительно точки О, в соответствии с формулой (8.4), направлен по правилу правого винта вдоль оси y:

M  F

 

r mg .

Бесконечно малое приращение момента импульса (9.9), будет направлено туда же:

dL,

в соответствии с

dL M dt. (9.10)

На рис. 9.4 вектор начального момента импульса Lo

изображен исходя-

щим из точки О. Вектор L, изображающий момент импульса через промежуток времени dt, будет повернут относительно оси z в направлении оси y, так как (рис. 9.4):

L Lo

dL Lo

M dt.

Рис. 9.4

Это парадоксальное, на первый взгляд, предсказание закона изменения момента импульса, как было уже сказано выше, согласуется с реальным пове- дением гироскопа. Такое движение гироскопа называется регулярной прецессией.

Найдем угловую скорость прецессии _пр. В соответствии с определением (7.1):

. (9.11)

Из рис. 9.4. радианная мера угла d будет равна:

Из (9.10) и (9.12) следует, что

Из (9.11) и (9.13) получим:

d . (9.12)

d . (9.13)

. (9.14)

Подставляя Lo

, где

- скорость вращения гироскопа, получим:

(9.15)

Формула (9.15) замечательна тем, что в соответствии с ней угловая ско-

рость прецессии будет постоянной при действии на гироскоп момента

внешней силы. При исчезновении этого момента также обращается в ноль.

Из (9.15) следует, что чем больше момент импульса гироскопа I

o, тем

меньше скорость прецессии.

Отметим, что формула (9.15) справедлива при условии, что угловая ско- рость вращения гироскопа намного больше, чем скорость прецессии, т.е., если

В заключение скажем, что в настоящее время разработаны и используются гироскопы, работающие на других физических принципах. Это волоконно- оптические гироскопы, лазерные гироскопы, ядерные гироскопы.

ИТОГИ ИЗ ЛЕКЦИИ № 9

1. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно закрепленной оси имеет следующий вид (9.2):

Mz Iz .