Статистические оценки параметров (характеристик) генеральной совокупности

Статистической оценкой или статистикой характеристики (параметра) генеральной совокупности называют приближенное значение искомой характеристики (параметра), полученное по данным выборки.

В статистике используются два вида оценок - точечные и интервальные.

Точечной статистической оценкой параметра генеральной совокупности называется конкретное числовое значение искомой характеристики.

Интервальная оценка представляет собой числовые интервалы, предположительно содержащие значение параметра генеральной совокупности.

Качество статистических оценок определяется следующими их свойствами:

• Состоятельность

Оценка считается состоятельной, если при неограниченном

увеличении объема выборки [ n><» (N)], ее ошибка стремится к 0:

lim(c? - а) = 0, т. к. при n t lim а = а;

где а - значение характеристики генеральной совокупности; а - значение характеристики выборки; а -а - ошибка выборки.

•  Несмещенность

Оценка считается несмещенной, если при данном объеме выборки n математическое ожидание ошибки равно 0.Для несмещенной оценки ее математическое ожидание точно равно математическому ожиданию характеристики выборки:

M[а - а] = 0или M[а] = M[а].

Несмещенная оценка не всегда дает хорошее приближение оцениваемого параметра, так как возможные значения получаемой оценки могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения. Поэтому оценка должна соответствовать еще одному требованию - эффективности.

• Эффективность

Оценка считается эффективной, если ее ошибка, называемая ошибкой выборки, является величиной минимальной. В математической статистике доказывается, что ошибка выборки определяется как: ju(cc) = ^M²[а-а] + S²;

где M²[а -а] - квадрат математического ожидания ошибки выборки;

S² - выборочная дисперсия.

Оценка эффективна, если выполняется условие: /и(а) ^ min.

Для точечных оценок справедливы следующие утверждения:

• Точечной оценкой генеральной доли является выборочная доля, то есть d~ со.

• Точечной оценкой генеральной средней является выборочная средняя, то есть x~ ~.

Таким образом, заранее известно, что оценки для указанных параметров являются состоятельными и несмещенными.

Для остальных параметров генеральной совокупности это утверждение не является справедливым, то есть а²ф S², а а ф S.

В математической статистике доказывается, что точечной оценкой генеральной дисперсии является выборочная                            дисперсия,

П               ₂ о2n

откорректированная на отношение, то есть а =--- S х ; при

n-1                        n-1

увеличении n ——>1, поэтому в выборках, объемом больше 30 единиц n-1

наблюдения, указанным отношением можно пренебречь.

Аналогично, точечной оценкой генерального среднеквадратического отклонения является выборочное среднеквадратическое отклонение,

nn откорректированное на, то есть с = S х

n-1                n-1

В этом случае точечные оценки генеральной дисперсии и генерального среднеквадратического отклонения являются состоятельными и несмещенными.

Основным недостатком точечных оценок является то, что они не учитывают ошибки выборки, то есть не являются эффективными. Поэтому более предпочтительными являются интервальные оценки параметров генеральной совокупности, в которых эти ошибки учитываются. Интервальные оценки соответствуют всем трем требованиям качества статистической оценки.

В математической статистике доказывается, что:

•  Интервальной оценкой генеральной доли является ее

выборочная доля с учетом ошибки выборочной доли, то есть ^d ~ ° ± fd_m,

где И _о - ошибка выборочной доли.

•  Интервальной оценкой генеральной средней является выборочная средняя с учетом ошибки выборочной средней, то есть

^x ~ ^x ± Ц%, где   - ошибка выборочной средней.

Применение интервальных оценок означает, что характеристики генеральной совокупности укладываются в определенный диапазон значений. Чтобы их получить, необходимо рассчитать соответствующие ошибки выборки.