Электростатическая теорема Гаусса

Электрическое поле заряда, распределенного в объеме V, можно рассчитать по первой из формул (5)

Согласно следствию из основной теоремы векторного анализа (формула (3) во введении) потенциальное векторное поле допускает интегральное представление

 Поле E как потенциальное поле обладает этим свойством (E эквивалентно P). Сравнивая формулы для полей E и P, получаем, что

                                                                                                         (13)

Согласно формуле Гаусса из векторного анализа интеграл от дивергенции векторного поля по объему V, ограниченному поверхностью S, равен потоку этого поля сквозь поверхность S:

где - внешняя нормаль к поверхности S.

Преобразуем объемный интеграл с помощью формулы (13)

где q -заряд, заключенный в объёме V. Таким образом, поток напряжённости электрического поля сквозь любую замкнутую поверхность пропорционален электрическому заряду, заключённому внутри этой поверхности:

                                                                       (14)

Это утверждение в теории электричества получило название электростатической теоремы Гаусса.

Обычно эта теорема доказывается без привлечения основной теоремы векторного анализа с помощью понятия телесного угла (сначала для точечного заряда, а потом с помощью принципа наложения для любой системы зарядов).

В поле точечного заряда электрический поток сквозь элемент поверхности dS, положение которого в пространстве задано единичной нормалью , равен 

где d -телесный угол, под которым виден элемент поверхности dS, расположенный в окрестности точки 1, из точки 2, где находится точечный заряд q.

Поток Ф_Е  сквозь замкнутую поверхность пропорционален телесному углу, под которым поверхность видна из точки расположения заряда. Если заряд расположен внутри поверхности, то , соответственно Ф_Е =q/ .

Если заряд расположен вне поверхности, то =0 и поток напряжённости электрического поля сквозь эту поверхность равен нулю.

Если заряженное тело рассматривать как совокупность элементарных(точечных) зарядов и каждому из этих зарядов и заданной поверхности S применить полученный для точечного заряда результат, то получается, что сумма (интеграл) потоков сквозь поверхность S равна сумме (интегралу) элементарных зарядов, находящихся внутри неё.