Расчет симметричных электрических полей с помощью электростатической теоремы Гаусса

Электрическое поле заряженной сферы.

Пусть сфера радиуса r₀ несёт заряд q, равномерно распределённый по её поверхности с плотностью . Вследствие сферической симметрии в расположении зарядов в пространстве электрическое поле обладает такой же симметрией: , где -единичный радиальный вектор сферической системы координат.

                                                                     r               

          r₀

                                     S                

Рис.10. Заряженная сфера и воображаемая сферическая поверхность S

Построим воображаемую сферическую поверхность S радиуса r, окружающую заряженную сферу (рис. 10). Применим к этой поверхности электростатическую теорему Гаусса:

Здесь учтено, что на поверхности сферы S  E(r)=const вследствие сферической симметрии электрического поля. Следовательно,

На наружной поверхности заряженной сферы

Если радиус поверхности S выбрать достаточно малым, чтобы она оказалась внутри заряженной сферы (r<r₀), то заряд внутри поверхности S и электрический поток сквозь неё равны нулю. Значит, и напряжённость электрического поля внутри заряженной сферы равно нулю, как следует из соотношения

Электрический потенциал определим как напряжение между точкой с координатой r и точкой нулевого потенциала, находящейся на бесконечности:

Потенциал самой сферы равен