Интегрирование рациональных дробей (метод разложения)

Рациональной дробью называется дробь вида , где и - многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае дробь называется неправильной.

Простейшими называются правильные дроби вида:

1) , где - целое число и ;

2) , где , т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней, - целое число и .

Интегралы от простейших дробей вычисляются по формулам:

1) ;

2) ;

3) вычисляется с помощью подстановки или по формуле: .

4) заменой приводится к виду: , где . (4)

Первый из интегралов легко вычисляется:

Второй из интегралов вычисляется по рекуррентной формуле: . Эта формула сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла с меньшим на единицу номером. При , . Например, .

Подставив найденные значения интегралов в формулу (4) и возвратившись к старой переменной по формуле , вычислим интеграл.

Интегрирование любой рациональной дроби сводится к разложению данной дроби на простейшие и интегрированию простейших дробей и многочленов. Порядок вычисления следующий:

1) если дана неправильная дробь, то выделить из нее целую часть, многочлен , и остаток , поделив числитель на знаменатель «уголком»;

2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

, где - действительные корни уравнения ; - квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней;

3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие: ;

4)вычислить неопределенные коэффициенты

, для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях и решить полученную систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Коэффициенты можно также найти, придавая различные числовые значения;

5) проинтегрировать слагаемые многочлена и полученные простейшие дроби.

В результате интеграл от рациональной дроби будет равен сумме интеграла от многочлена и интегралов от простейших дробей.

Пример 1. 30.

, здесь , поскольку , подынтегральное выражение представляет собой простейшую дробь. Интеграл вычисляется с помощью подстановки :

Пример 1. 31.

. Подынтегральное выражение представляет собой правильную дробь, поэтому выделять целую часть не нужно. Разложим знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

, затем разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

, (5)

Найдем коэффициенты и .

1 способ. Приведем правую часть равенства (5) к общему знаменателю и отбросим в полученном равенстве знаменатели. В результате будем иметь: . (6)

Подставим в (6) , получим (при второе и третье слагаемые правой части равенства (6) обращаются в нуль), отсюда .

Аналогично подставив в (6) последовательно и , получим: , отсюда ; , отсюда .

2 способ. Составим систему уравнений для определения коэффициентов и . Равенство (4) выполняется тогда и только тогда, когда многочлены в левой и правой частях имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях :

. Тогда

Решая систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными, получим тот же результат: , , .

Подставив найденные значения в (5) и проинтегрировав, окончательно получим:

Пример 1. 32.

. Разложим знаменатель на множители. Для этого решим биквадратное уравнение: . Отсюда или . Итак, числитель и знаменатель раскладывается на линейные и квадратичные множители следующим способом: .