Интегрирование иррациональных функций

 

Таблица 7

 

I	, где  - рациональная функция от двух аргументов;  - натуральные числа;  - постоянные	замена  или , откуда  и
II	где  - рациональная функция; - целыечисла	подстановка , где - наименьшее общее кратное чисел   (общий знаменатель дробей ), отсюда .
III	, где  - рациональная функция	подстановка		, ,
				, ,
				, ,
IV	Интегралы от биномиальных дифференциалов имеют вид: , где  - любые постоянные, не равные нулю;  - рациональные числа;  - несократимые дроби	целое	, где , , ,
		целое	, ,
		целое	, , ,

 

 

Пример 1.40.

. Это случай I из табл. 7. К цели приводит замена . Продифференцируем замену , отсюда . Подставляем:

.

Пример 1.41.

. Это случай II из табл. 7. Подынтегральная функция является рациональной относительно . Здесь . Наименьшее общее кратное . Следовательно, нужно сделать подстановку :

Поделив числитель на знаменатель «уголком»,

получаем:

.

Пример 1.42.

. Это случай III из табл. 7. Сделаем замену: :

. Получили интеграл вида . Произведем замену: ;

.

Пример 1.43.

. Это интеграл от биномиального дифференциала (случай IV из табл. 7.). Здесь . Поскольку  - целое число, сделаем замену: . Таким образом,

.

Пример 1.44.

. Это интеграл от биномиального дифференциала (случай IV из табл. 7.). Здесь . Поскольку  - целое число, сделаем замену:; ; получим: . Интеграл  вычислим как интеграл от рациональной дроби. Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби, предварительно разложив на множители знаменатель: . Имеем: , приведем правую часть к общему знаменателю и, отбросив его, получим:

.                                                        (12)

Полагая в (12) последовательно  и , получим: , откуда . Приравнивая в (12) коэффициенты при , получаем: , подставив в последнее равенство найденные значения  и , имеем: . Итак, получаем:

.

 

  Пример 1.45.

. Хотя интеграл не подпадает ни под один из сл. I-IV из табл. 7, тем не менее, он сводится к сумме интегралов случая II:

. Имеем:

 

.

Аналогично вычисляется и второй интеграл.

.

Просуммировав их, окончательно получим:

.