Интегрирование тригонометрических функций

 

Рассмотрим три случая нахождения интеграла от тригонометрических функций (см. табл. 5). Учитывая тип интеграла, выбираем подстановку или формулу, позволяющую вычислить данный интеграл.

Таблица 5

 

I	, где - рациональная функция
	1		2		3		4
	универсальная тригонометрическая подстановка		подстановка , если ,т.е. подынтегральная функция нечетная относительно		подстановка , если ,т.е. подынтегральная функция нечетная относительно		подстановка , если , т.е. подынтегральная функция четная относительно  и .
II
	1	2		3		4
	подстановка , если целое положительное нечетное число	подстановка , если целое положительное нечетное число		подстановка , если целое отрицательное четное число		формулы понижения степени если  и целые неотрицательные четные числа
III

 

Замечание 1.3. Для удобства подстановки случая I и II сведены в табл. 6.

 

Таблица 6

 

Таблица тригонометрических подстановок

 

1
2
3
4

 

Пример 1.34.

. Подынтегральная функция рационально зависит от  и , поэтому применим подстановку (см. табл. 5 случай I.1). Выражения для ,  и  через  возьмем из табл. 6: .

Пример 1.35.

 

. Перепишем подынтегральное выражение следующим образом: . Легко увидеть, что подынтегральное выражение нечетное относительно . Поэтому применяем подстановку (см. табл. 5 случай I.3). Выражения для ,  и  через  возьмем из табл. 6:

.

 

Пример 1.36.

. Здесь  - нечетное число, поэтому далее делаем подстановку (см. табл. 5 случай II.2). Выражения для  и  через  возьмем из табл. 6:

.

Пример 1.37.

. Подынтегральное выражение четно как относительно , так и , поэтому применяем подстановку (см. табл. 5 случай I.4). Выражения для  и  через  возьмем из табл. 5:

.

Пример 1.38.

. Здесь  - четные неотрицательные числа. Воспользуемся формулами понижения степени  и   за счет удвоения угла (см. табл. 5 случай II.4):

.

Пример 1.39.

. Воспользуемся формулой случая III из табл. 5:

.