2020-04-12
117
| Выражение, встречающееся в интеграле | Рекомендуемая подстановка | Дифференциал 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
|  
|
|  или
| 
|
Пример 1. 12.
Вычислим 
. Сделаем замену переменной по формуле 
. Тогда 
. Выразив подынтегральное выражение через новую переменную, вычислим полученный интеграл:
.
Пример 1. 13.
.
Пример 1. 14.
.
Пример 1. 15.
.
Найти подходящую замену – большое искусство. Иногда приходится делать последовательно две или несколько замен.
Пример 1. 16.
.
В некоторых случаях из вида подынтегрального выражения ясно, что удобнее сделать замену вида 
или 
, где 
– требуемая функция из второй колонки табл. 2; 
– постоянная. Если производите замену вида , будьте внимательны к знаку выражения 
.
Пример 1. 17.
.
Иногда выражение соответствующее табл. 2 приходится из подынтегрального выражения вычленять.
Пример 1. 18.
. Выражения вида 
напрямую в интеграле нет, однако подстановка 
приводит к цели.
.
Пример 1. 19.
. Здесь также требуемое выражение приходится вычленять:
.
В зависимости от вида подынтегрального выражения, если в нем встречается соотношение вида 
, иногда удобно произвести замену 
или
.Тогда 
в первом случае, а 
во втором.
Пример 1. 20.
.
В ряде случаев к цели приводит представление интеграла в виде суммы двух, один из которых табличный или приводится к нему линейной заменой, а второй требует замены переменной из табл. 2. Также возможен случай, когда оба интеграла требуют замены переменной, чаще всего, каждый – своей.
Пример 1. 21.
. (1)
Первый интеграл сводится к табличному линейной заменой:
.
Второй требует замены переменной по формуле :
.
Подставив полученные результаты в (1), имеем:
.
Пример 1. 22.
. (2)
Первый интеграл берется заменой 
:
.
Второй – заменой 
:
.
Подставив полученные результаты в (2), получаем окончательный ответ:
.
