2020-04-07
83
p 1 последняя цифра в зачетной книжке студента;
р2 предпоследняя цифра в зачетной книжке;
р3 число букв в фамилии студента.
Постановка задачи
На отрезке [-3; 1.5] вычислить определенный интеграл функции
y = p 1× x 3 + p 2× x 2 + 2× p 3 с использованием метода трапе-
ций и метода статистического моделирования. Провести проверку най- денных решений, вычисляя интеграл с пом ощью встроенных функций MathCADа.
Исследовать точность полученных решений в зависимости от шага разбиения отрезка [-3; 1.5] (для метода трапеций) и от количества и с- пытаний (для метода статистического моделирования).
10.4.1 Методические указания по выполнению работы
A) Строим график функции на заданном отрезке [-3; 1.5]
y(x):= x3 + 3×x2 + 2
x:= -3,-2.99.. 1.5
 |
y(x)
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
Вычислим определенный интеграл с помощью встроенных функций
a:= -3
b:= 1.5
ób
ô y(x) dx = 20.390625
õa
Вычислим определенный интеграл методом трапеций с шагом h=0,01
h:= 0.01
m:=
b - a
h
m = 450
i:= 0.. m
Используем формулу трапеций
xi:= i×h + a
yi :=
It:=
(xi)3 + 3×(xi)2 + 2
h×æåyiö - h ×(y0 + ym)
ç ÷ 2
è i ø
It = 20.390681
Видно, что решения совпадают с точностью до 4 знака после запятой. Уменьшим шаг разбиения в 10 раз h=0,001
ОПРЕДЕЛИТЬ It (самостоятельно), сделать вывод о точности
B) Вычислим определенный интеграл методом статистического моделирования при числе испытаний n = 1000,
Получим случайное число, используя функцию rnd(k), равномерно распределенную на отрезке [0;k]
Используя элементарное программирование в MathCAD, проверим каждую из 1000 точек T(x1i, y1i), лежит ли она над кривой y(x) (y2i) или нет. Все точки под кривой заполняем. n:= 1000
i:= 0.. n
x1i:= rnd(4.5) + a
ym = 12.125 y1i:= rnd(ym)
y2i:=
(x1i)3 + 3×(x1i)2 + 2
N(n):= C 0
for
iÎ 0.. n
N(n) = 366
C C + 1
if y2i >
y1i
Площадь прямоугольника равна
S:= (b - a) ×ym
S = 54.563
15
yi 10
y1i
5
0 3 2 1 0 1 2
xi, x1i
Интеграл будет равен:
N(n) ×S = 19.97
n
Нужно отметить, что точность метода статистических испытаний для числа испытаний n = 1000 невелика. Поэтому, рекомендуется увеличить число испытаний до n = 100000.
Необходимо иметь ввиду, что для одинакового числа испытаний результаты вычислений интеграла будет несколько отличаться в каждой реализации, т.к это зависит от конкретных значений датчика случайных чисел.
Сделать выводы по работе:.
Выполнил студент группы № .
Вопросы к лабораторной работе № 10
1. Показать интерполяционные узлы на графике (по усмотрению преподавателя).
2. Составить полином Лагранжа n-ой степени (по усмотрение преподавателя).
3. Составить формулу трапеции.
4. Для чего нужна rnd функция, какие у нее параметры?
5. Метод Монте – Карла (суть метода + график).
6. Точность метода Монте – Карла.
7. От чего зависит точность метода трапеции?
8. Что такое квадратурная формула (написать формулу, охарактеризовать).
