Лінійно-незалежні вектори. Базис

Розглянемо систему з п п- вимірних векторів (1).

Означення: Вектори називаються лінійно незалежними, якщо рівність (2) виконується лише при умові, що (3).

Якщо рівність (2) досягається тільки тоді, коли коефіцієнти не перетворюються одночасно в нуль, то вектори називаються лінійно залежними.

Якщо один з векторів нульовий, то ці вектори лінійно залежні, оскільки коефіцієнт при векторі може бути взятим ненульовим.

У одновимірному векторному просторі , тобто на прямій, будь-який ненульовий вектор є лінійно незалежним, а будь-які два вектори вже лінійно залежні.

Наведемо без доведення такі властивості поняття лінійної залежності:

1. якщо серед векторів (1) є нульовий, то ці вектори лінійно залежні;

2. якщо вектори (1) лінійно залежні, то після додавання до них одного чи кількох нових векторів, дістанемо лінійно залежну систему векторів;

3. якщо вектори (1) лінійно незалежні, то після відкидання одного чи кількох векторів, дістанемо знову лінійно незалежні вектори;

4. вектори (1) лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли один з них є лінійною комбінацією інших;

5. якщо два ненульові двовимірні вектори лінійно залежні, то вони колінеарні і навпаки;

6. якщо три ненульові тривимірні вектори лінійно залежні, то вони компланарні і навпаки;

7. чотири (і більше) тривимірних вектори завжди лінійно залежні.

Поняття лінійної залежності має досить глибокий зміст і широко використовується в математиці. Не вдаючись до подробиць, наведемо такі застосування цього поняття.

· Всяка упорядкована сукупність лінійно незалежних векторів, через які лінійно виражається довільний вектор простору, називається базисом цього простору.

· Максимальне число лінійно незалежних векторів деякого простору називається його розмірністю. Розмірність простору дорівнює числу базисних векторів цього простору. Відповідно до цього означення пряму лінію розглядають як одновимірний простір з одним базисним вектором; площина – це двовимірний простір , базис якого містить два вектори і тому подібне.

Якщо вектори складають базис і вектор розкладений за цим базисом, тобто , то числа називаються координатами вектора в даному базисі. Кажуть також, що вектор лінійно виражається через вектори або є їх лінійною комбінацією.

Теорема. Кожен вектор, паралельний якій-небудь прямій, можна розкласти за базисом на цій прямій.

Кожен вектор, паралельний якій-небудь площині, можна розкласти за базисом на цій площині.

Кожен вектор, можна розкласти за базисом у просторі.

Координати вектора у кожному випадку визначаються однозначно.

Розглянемо геометричний зміст цієї теореми.

Перше твердження теореми означає, що для довільного вектора , колінеарного ненульовому вектору , знайдеться таке число , що . Очевидно, що , якщо вектори і однаково напрямлені, і , якщо ці вектори протилежно напрямлені (мал. 1).

Друге твердження означає, що для кожного вектора , компланарного з двома не колінеарними векторами і (мал..2), знайдуться такі числа , що . Щоб указати компоненти та , досить розкласти вектор на суму векторів, колінеарних векторам і (згадайте розклад сили у фізиці на дві складові).

Третє твердження теореми означає, що для кожного вектора і не компланарних векторів , і знайдуться такі числа , що (мал..3)

Таким чином, базис у просторі дає змогу кожному вектору однозначно співставити упорядковану трійку чисел (координат цього вектора) і, навпаки, кожній упорядкованій трійці чисел за допомогою базису можна співставити єдиний вектор , де , і - вектори базису, тобто обраний базис дає змогу встановити взаємно однозначну відповідність між векторами і упорядкованими трійками чисел.

8. Означення визначника і його властивості.

Визначником (детермінантом) 2-го порядку, записаним у вигляді виразу

називається число .

Кожний елемент визначника можна записати у вигляді виразу

де і – номер рядка, j - номер стовпця. Слово детермінант походить від слова determine – визначаю (латин.), ввів його В. Лейбніц.

Вираз:

– визначник третього порядку, причому

Приклади обчислення визначників:

· Обчислення визначників за правилом Саррюса (Сарруса, Саріуса):

a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃

· Правило дописування стовпців:

Для обчислення визначників вищого порядку використовують таке поняття як алгебраїчні доповнення.

Означення. Мінором елемента визначника називатимемо новий визначник, який дістанемо з даного визначника викреслюванням рядка і стовпця, які містять даний елемент.

Мінор елемента –

Наприклад:

, тоді

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента називається мінор цього елемента, який береться із знаком і позначається :

Визначник п – го порядку має вигляд:

Теорема Лапласа: Визначник п – го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (або стовпця) на їхні відповідні алгебраїчні доповнення.

Наведемо доведення для визначника 3-го порядку:

Хочемо довести, що

За означенням алгебраїчного доповнення, одержимо:==.

Теорему доведено.

Властивості визначників.

1. Властивість рівноправності рядків і стовпців.

Визначник не змінюється, якщо в ньому рядки змінити на стовпці, а стовпці - на рядки.

2. Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки (або стовпці), то визначник змінить знак на протилежний.

3. Визначник у якого елементи одного рядка (стовпця) відповідно рівні елементам другого рядка (стовпця), дорівнює нулю.

Якщо всі елементи рядка (стовпця) визначника мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника.

Визначник, у якого елементи двох рядків (стовпців) є відповідно
пропорційними, дорівнює нулю.

Якщо у визначнику всі елементи якого-небудь рядка (стовпця) є сумою
двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників в одному з яких
суми замінено їхніми першими доданками, а в другому - другими.

7. Якщо до елементів якого-небудь рядка (стовпця) відповідно додати елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число, то визначник не зміниться.

8. Визначник у якого всі елементи, розміщенні вище (або нижче) головної діагоналі є нулі, дорівнює добуток елементів головної діагоналі.

Доведення даних властивостей проводиться способом обчислення лівих і правих частин рівностей і порівняння їх результатів.

Спосіб обчислення визначників порядку п≥3:

1) розклад за елементами рядка або стовпця, причому вибираємо рядок або стовпець де є нулі;

2) зводимо визначник до трикутної форми.

Приклад 1.

Обчислити визначник:

Розв’язання:

1 – ий спосіб:

2 – ий спосіб:

9. Матриці. Дії над матрицями.

Означення: Таблиця чисел вигляду , яка складається з m рядків і n стовпців називається матрицею.

Елементи матриці: , де .

Якщо т≠п, то матриця прямокутна, якщо ж т=п, то квадратна.

Елементи , для яких утворюють головну діагональ матриці. Інша діагональ називається побічною.

Число рядків або стовпців квадратної матриці визначає порядок матриці.

Означення: Квадратна матриця називається трикутною, якщо всі елементи, розміщені вище або нижче головної діагоналі, рівні нулю.

Означення: Діагональною називається квадратна матриця, у якої всі елементи, що не містяться на головній діагоналі рівні нулю.

Якщо т=1, то одержимо матрицю – рядок, якщо п=1, то матимемо матрицю – стовпець.

Означення: Нульовоюназивається матриця, у якої всі елементи – нулі.

Означення: Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е: .

Означення: Дві матриці та називаються рівними, якщо вони однакових розмірів і їх відповідні елементи рівні, тобто .

Будь-якій квадратній матриці можна поставити у відповідність певне число, яке називається визначником (детермінантом) і позначається, як ми знаємо символом det A. Прямокутні матриці визначників не мають.

Лінійні операції над матрицями

1. Додавання матриць (однакового розміру).

Сумою двох матриць і називається матриця С=А+В, .

Приклад 1: Знайти суму матриць:

і .

Розв’язування:

2. Добуток матриці на число.

Добутком матриці на число λ (або числа λ на матрицю А) називається матриця .

3. Різниця матриць (однакового розміру).

Різниця матриць А-В визначається як сума матриці А і матриці В, помноженої на (-1): А-В=А+(-1)В.

Матриця буде протилежною до матриці А, якщо всі її елементи є протилежними числами до відповідних елементів матриці А.

Транспонуванням матриці називається заміна її рядків на стовпці зі збереженням порядку їх запису.

Очевидно, що .

Означення: Матриця називається симетричною, якщо , тобто для її елементів виконується рівність (i,j=1,2,…,n).

Означення: Матриця називається кососиметричною, якщо і виконується рівність .

У кососиметричної матриці діагональні елементи дорівнюють нулю.

Справедливі такі властивості операцій:

1. А+В=В+А – комутативність відносно додавання матриць;

2. А+(В+С)=(А+В)+С – асоціативність відносно додавання матриць;

3. А+0=А, А-А=0 – роль нульової матриці в діях над матрицями;

4. α(βА)=(αβ)А – асоціативність відносно множення чисел;

5. α(А+В)=αА+αВ – дистрибутивність множення на число відносно додавання матриць;

6. (α+β)А=αА+βА – дистрибутивність множення на матрицю відносно додавання чисел.

4. Множення двох матриць.

Операція множення двох матриць вводиться лише для узгоджених матриць.

Означення: Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців першої матриці А дорівнює кількості рядків другої матриці В.

Квадратні матриці одного порядку взаємно узгоджені.

Означення: Добутком С=АВ матриці на матрицю називається така матриця, у якої елемент дорівнює сумі добутків елементів і -го рядка матриці А на відповідні елементи j -го стовпця матриці В: