Апроксимація функції. Лінійне інтерполювання

Апроксимація – підхід, за допомогою якого знаходиться аналітична функція , що “найкращим чином” наближається до заданої табличної функції. Звичайно “найкращим чином” – це критерій, в якості якого використовується критерій середньо квадратичного відхилення (СКВ), заснований на тому, що сума квадратів відхилень аналітичної функції від експериментальної (при і=0, 1, …, k) повинна бути мінімальною:

Апроксима́ція — наближене вираження одних математичних об'єктів іншими, простішими, наприклад, кривих ліній — ламаними, ірраціональних чисел — раціональними, неперервних функцій — многочленами.

В найпростішому випадку при п=1 матимемо:

- формула лінійної інтерполяції,

при п =2

– формула квадратичного інтерполювання.

Доведемо для випадку п=1, що . Тоді, матимемо систему

Розв’язуючи дану систему способом додавання, одержимо

, .

Тоді

Тоді .

Зауваження: у випадку лінійної інтерполяції, припускаємо, що графіком функції є пряма, звідси приріст функції повинен бути пропорційним приросту аргументу. Якщо задане значення аргумента х знаходиться між наведеними в таблиці і , де і , тоді вважають, що

Можна записати формулу для оберненого інтерполювання:

Розглянемо приклади:

Приклад 1.

Провести інтерполяцію уявного економічного показника за даними таблиці

Розв’язання:

За даними таблиці маємо квадратичне інтерполювання. Тоді беремо за Виконавши алгебраїчні перетворення, одержимо:

Дуже поширеним методом розв’язування задачі інтерполювання є метод найменших квадратів. Перед тим, як застосовувати його слід розв’язати систему рівнянь:

.

Маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими а і b. Розв’язуючи її, одержимо шукану функцію