Связь между криволинейными интегралами

Первого и второго рода.

    Пусть криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой АВ имеет вид:

P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz

Рассмотрим вектор-функцию

F(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k

как трёхмерный вектор с компонентами P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z), а также вектор dr=dx∙i+dy∙j+dz∙k. Тогда комбинация, стоящая под знаком интеграла, есть не что иное, как скалярное произведение векторов (x,y,z) и , т.е.

P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz = (  (x,y,z) ), и поэтому

P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz  = ( (x,y,z), ).

Обозначим через α, β и γ  углы, которые вектор  образует с осями OX, OY и OZ.  Заметим, что длина вектора :

 = = ds

есть не что иное, как дифференциал длины дуги кривой. Поэтому

dx=ds∙cosα, dy=ds∙cosβ, dz=ds∙cosγ

и мы можем записать

Pdx+Qdy+Rdz= (Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds                         (2.2)

Заметим, что слева стоит криволинейный интеграл второго рода, а справа – криволинейный интеграл первого рода. Эта формула даёт связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.

2.2. Свойства криволинейных интегралов второго рода.

1. Постоянный множитель выносится за знак криволинейного интеграла

k P(x,y,z)dx=k P(x,y,z)dx

Свойства криволинейных интегралов второго рода будем рассматривать на одной из составляющих криволинейного интеграла.

2. Криволинейный интеграл от суммы функции равен сумме интегралов

(P₁(x,y,z)+P₂(x,y,z))dx= P₁(x,y,z)dx+ P₂(x,y,z)dx

3. Если кривая AB разбивается точкой С на две части, то

Pdx= Pdx + Pdx

4. Криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой (циркуляция)    не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода данной кривой.

5. Если   AB – кривая, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси OX, то

P(x,y,z)dx=0,

Если дуга   AB принадлежит плоскости, перпендикулярной оси OY, то

Q(x,y,z)dy=0,

если  дуга AB лежит в плоскости, перпендикулярной оси OZ, то

R(x,y,z)dz=0