Вычисление потенциала векторного поля

Так как в потенциальном поле (выполнение условий (2.5)) криволинейный интеграл второго рода не зависит от формы пути интегрирования, то в качестве кривой L, вдоль которой будем вычислять криволинейный интеграл, возьмем ломаную линию, звенья которой параллельны осям координат. Зафиксируем начальную точку A( ) и соединим ее ломаной линией с текущей точкой B(x,y,z). Рассмотрим данный способ нахождения потенциала векторного поля на примере.

Пример: вычислить потенциальную функцию векторного поля                         

Начнем решение задачи с проверки условий (2.5) потенциальности заданного векторного поля.

 

 

Тогда потенциальная функция

где

Рассмотрим интегралы вдоль каждого отрезка ломаной линии.

В данном примере в качестве начальной точки A( ) было взято начало координат A(0,0,0). Если же функции P(x,y,z), Q(x,y,z), и R(x,y,z) в начале координат не существуют, то обычно, в качестве начальной, берут точку с координатами A(1,1,1), либо любую другую.

Второй способ вычисления функции :

      (2.6)

Для данной задачи найдем потенциальную функцию, используя формулу (2.6):

 

После окончательного решения задачи всегда следует делать проверку.

Пример: вычислить потенциальную функцию векторного поля двумя способами.

Проверим потенциальность векторного поля:

Условия (2.5) выполнены, следовательно, заданное поле потенциально.

 

 

 

U(x,y,z) = Z²∙(ln x + ln y – (x/y)) + 1

2 способ вычисления потенциальной функции в соответствии с формулой (2.6):

                         

Проверим полученную потенциальную функцию:

Ответ:

Пример: вычислить потенциальную функцию плоского векторного поля двумя способами.

 

 

Проверка условий потенциальности векторного поля.

 

 

Следовательно, поле потенциально.

 1-ый способ нахождения потенциальной функции.

Т.к. криволинейный интеграл 2-ого рода не зависит от формы пути интегрирования, примем за путь интегрирования ломаную линию АСВ, где линия АС параллельна оси ОХ, линия СВ параллельна оси ОУ. Т.к. функции P(x,y) и Q(x,y) не существуют в начале координат, то за начальную точку выберем точку с координатами (1,1).

2-ой способ (формула (2.6))

Оператор Гамильтона

Многие операции векторного анализа могут быть записаны в сокращенной и удобной для расчетов форме путем введения символического дифференцирующего вектора набла , называемого оператором Гамильтона.

Ротором вектора  и их первые частные производные непрерывны в некоторой области 3-х мерного пространства, называется вектор, получаемый в результате векторного произведения символического вектора  и вектора .

         

                                                                                                                                                                          (2.7)

                                        

 

Если , то векторное поле  потенциально, т.к. если координаты вектора  равны нулю, то мы получаем условия потенциальности векторного поля (2.5). Потому в задачах на нахождение потенциальной функции при проверке условий потенциальности векторного поля можно использовать либо условия потенциальности (2.5), либо вычислять .

Пример: вычислить потенциальную функцию плоского векторного поля

Решение начнем с нахождения . 

    

 

 

 

  

Следовательно, поле    является потенциальным. Найдем потенциальную функцию, используя формулу (2.6):

 

 

 

Проверка:

 

Кроме ротора векторного поля с помощью символического вектора набла можно найти градиент скалярной функции , путем простого умножения вектора набла на скалярную функцию

                                   (2.8)

Скалярное произведение вектора   и вектора векторного поля  называется дивергенцией векторного поля. Дивергенция – величина скалярная и вычисляется следующим образом:

                                                                                      (2.9)

Формула Грина.

Для достаточно общего вида плоских областей D с положительно ориентированной границей Г  справедлива формула Грина:

                                                                   (2.10)                                                                         

Формула Грина позволяет вычислить криволинейный интеграл второго рода по замкнутой линии Г, т.е. циркуляцию через двойной интеграл по области D, ограниченной этой кривой линией.

Пример: вычислить циркуляцию вектора

по окружности

Циркуляция данного вектора равна:

 

Находим частные производные:

Тогда по формуле Грина (2.10):

Т.к. кривая L является окружностью, то при вычислении двойного интеграла используем полярную систему координат:

Тогда

 

Пример: пользуясь формулой Грина, вычислить линейный интеграл в векторном поле  где L - верхняя часть полуокружности  направление обхода контура от точки A(2;0) до точки О(0;0)

 

Уравнение окружности:

или  т.е. центр окружности                      рис. 2.4

сдвинут по оси   Ох вправо на одну единицу. Дополним дугу полуокружности отрезком прямой   ОА. Кривая ОАО – становится замкнутой.

Тогда по формуле Грина (2.10):

 

По свойству двойного интеграла полученный интеграл равен площади области D, а радиус полуокружности R=1. Интеграл вдоль прямой ОА равен нулю (на ОА у=0; dy=0), следовательно, окончательный ответ - линейный интеграл равен .