Поверхностный интеграл второго рода

Пусть S – двухсторонняя ограниченная поверхность, заданная уравнением z = f(x,y), где f(x,y) – непрерывная функция в замкнутой области D – проекции поверхности S на плоскость XOY, а R(x,y,z) – непрерывная функция на поверхности S. Выберем верхнюю сторону поверхности S.

Разобьем поверхность S сетью кусочно-гладких линий на n частей ΔS₁, ΔS₂, …, ΔS_n. Проекциями этих линий на плоскость XOY область D разобьется на n областей, обозначим их соответственно Δσ₁, Δσ₂, …, Δσ_n. Возьмем на каждой части ΔS_i произвольную точку M_i(ξ_i,η_i,ζ_i) и составим интегральную сумму:

                                   рис. 3.1

Так как сторона поверхности выбрана верхняя, то (ΔS_i)_xy = Δσ_i, а значит

В правой части равенства имеем интегральную сумму для двойного интеграла от непрерывной функции R(x,y,f(x,y)) по области D_xy.

При стремлении к нулю шага разбиения поверхности S,  Δσ_i также стремится к нулю. В пределе получаем формулу

                                  (3.1)

определяющую интеграл по верхней стороне поверхности S по переменным x и y через двойной интеграл по ее проекции на плоскость XOY.

Аналогичным образом устанавливается справедливость формул:

                                      (3.2)           

для функции P(x,y,z), непрерывной на двухсторонней поверхности S, заданной уравнением x = f (x,y) (D_yoz – проекция поверхности S на плоскость YOZ) и

                             (3.3)

для функции Q(x,y,z), непрерывной на двухсторонней поверхности S, заданной уравнением y = f (x,z).

Если поверхность S такова, что для функций P(x,y,z), Q(x,y,z) и   R(x,y,z), определенных в точках этой поверхности, интегралы (3.1), (3.2) и (3.3) существуют, то вводится понятие поверхностного интеграла «общего» вида по выбранной стороне поверхности: